基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題60 解説
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解説
方針・初手
平行四辺形 $OABC$ では、対角線 $OB$ の位置ベクトルは
$$ \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}
$$
と表せる。したがって、各点がどの線分をどの比に内分しているかを位置ベクトルで表し、その後、$\vec{DE}$ と $\vec{DF}$ が平行であることを示せばよい。
解法1
$\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OC}=\vec{c}$ とおく。
平行四辺形 $OABC$ より、点 $B$ は $\vec{a}+\vec{c}$ の位置にあるので、
$$ \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{a}+\vec{c}
$$
である。
まず、点 $D$ は辺 $OA$ を $2:1$ に内分するから、
$$ \vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA}
$$
である。
次に、点 $F$ は辺 $OC$ の中点であるから、
$$ \vec{OF}=\frac{1}{2}\vec{OC}
$$
である。
また、点 $E$ は対角線 $OB$ を $2:5$ に内分するので、
$$ \vec{OE}=\frac{2}{7}\vec{OB}
$$
である。ここで $\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}$ だから、
$$ \begin{aligned} \vec{OE} &= \frac{2}{7}(\vec{OA}+\vec{OC})\\ &= \frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC} \end{aligned} $$
となる。
よって、(1) の答えは
$$ \vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA},\qquad \vec{OF}=\frac{1}{2}\vec{OC},\qquad \vec{OE}=\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC}
$$
である。
次に、3点 $D,E,F$ が一直線上にあることを示す。
位置ベクトルを用いて、
$$ \vec{DE}=\vec{OE}-\vec{OD}
$$
であるから、
$$ \begin{aligned} \vec{DE} &= \left(\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC}\right) -\frac{2}{3}\vec{OA} \\ &= \left(\frac{2}{7}-\frac{2}{3}\right)\vec{OA} +\frac{2}{7}\vec{OC} \\ &= -\frac{8}{21}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC} \\ &= \frac{2}{21}(-4\vec{OA}+3\vec{OC}) \end{aligned}
$$
である。
また、
$$ \vec{DF}=\vec{OF}-\vec{OD}
$$
より、
$$ \begin{aligned} \vec{DF} &= \frac{1}{2}\vec{OC}-\frac{2}{3}\vec{OA} \\ &= -\frac{2}{3}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OC} \\ &= \frac{1}{6}(-4\vec{OA}+3\vec{OC}) \end{aligned}
$$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \vec{DE} &= \frac{2}{21}(-4\vec{OA}+3\vec{OC})\\ &= \frac{4}{7}\cdot \frac{1}{6}(-4\vec{OA}+3\vec{OC})\\ &= \frac{4}{7}\vec{DF} \end{aligned} $$
が成り立つ。
よって、$\vec{DE}$ は $\vec{DF}$ の実数倍であるから、直線 $DE$ と直線 $DF$ は同一直線である。
したがって、3点 $D,E,F$ は一直線上にある。
解説
この問題では、平行四辺形の対角線の位置ベクトルを
$$ \vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}
$$
と表すことが最初の要点である。
そのうえで、内分点の公式を用いて $\vec{OD},\vec{OE},\vec{OF}$ を表す。3点が一直線上にあることは、$\vec{DE}$ と $\vec{DF}$ が平行であること、つまり一方が他方の実数倍であることを示せばよい。
ここでは
$$ \vec{DE}=\frac{4}{7}\vec{DF}
$$
が得られるので、点 $E$ は線分 $DF$ 上にあり、3点 $D,E,F$ は一直線上に並ぶ。
答え
**(1)**
$$ \vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OA}
$$
$$ \vec{OF}=\frac{1}{2}\vec{OC}
$$
$$ \vec{OE}=\frac{2}{7}\vec{OA}+\frac{2}{7}\vec{OC}
$$
**(2)**
$$ \vec{DE}=\frac{4}{7}\vec{DF}
$$
であるから、$\vec{DE}$ と $\vec{DF}$ は平行である。したがって、3点 $D,E,F$ は一直線上にある。