基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題61 解説
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解説
方針・初手
点 $P$ は直線 $AQ$ 上にも直線 $BR$ 上にもある。したがって、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の一次結合で表し、2通りの表し方を比較する。
まず、内分比から $\overrightarrow{OQ}$ と $\overrightarrow{OR}$ を求める。
解法1
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。
点 $Q$ は辺 $OB$ を $3:2$ に内分するから、
$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{3}{5}\mathbf{b}
$$
である。
また、点 $R$ は辺 $OA$ を $4:3$ に内分するから、
$$ \overrightarrow{OR}=\frac{4}{7}\mathbf{a}
$$
である。
点 $P$ は直線 $AQ$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて
$$ \overrightarrow{OP}=(1-s)\mathbf{a}+s\cdot \frac{3}{5}\mathbf{b}
$$
と表せる。
したがって、$\overrightarrow{OP}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$ とおくと、
$$ x=1-s,\qquad y=\frac{3}{5}s
$$
である。よって
$$ s=\frac{5}{3}y
$$
より、
$$ x=1-\frac{5}{3}y
$$
を得る。
一方、点 $P$ は直線 $BR$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{OP}=t\cdot \frac{4}{7}\mathbf{a}+(1-t)\mathbf{b}
$$
と表せる。
したがって、
$$ x=\frac{4}{7}t,\qquad y=1-t
$$
である。よって
$$ t=1-y
$$
より、
$$ x=\frac{4}{7}(1-y)
$$
を得る。
以上より、
$$ 1-\frac{5}{3}y=\frac{4}{7}(1-y)
$$
を解けばよい。両辺に $21$ をかけると、
$$ 21-35y=12-12y
$$
したがって、
$$ 9=23y
$$
より、
$$ y=\frac{9}{23}
$$
である。
これを
$$ x=\frac{4}{7}(1-y)
$$
に代入すると、
$$ x=\frac{4}{7}\left(1-\frac{9}{23}\right) =\frac{4}{7}\cdot \frac{14}{23} =\frac{8}{23}
$$
となる。
よって、
$$ \overrightarrow{OP} = \frac{8}{23}\overrightarrow{OA} + \frac{9}{23}\overrightarrow{OB}
$$
である。
解説
この問題では、点 $P$ が2本の直線 $AQ$、$BR$ の交点であることを利用する。
内分点 $Q,R$ の位置ベクトルを先に求め、直線上の点を媒介変数で表すと、$\overrightarrow{OP}$ の係数比較だけで処理できる。
注意すべき点は、$Q$ は $OB$ を $3:2$ に内分するので $\overrightarrow{OQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$、$R$ は $OA$ を $4:3$ に内分するので $\overrightarrow{OR}=\frac{4}{7}\overrightarrow{OA}$ となることである。比の向きを逆にすると係数が変わる。
答え
$$ \overrightarrow{OP} = \frac{8}{23}\overrightarrow{OA} + \frac{9}{23}\overrightarrow{OB}
$$
したがって、
$$ [ア]=\frac{8}{23},\qquad [イ]=\frac{9}{23}
$$