解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OB}=\vec b$ とおく。

点 $P,Q$ はそれぞれ辺 $OA,OB$ 上の内分点なので、まず $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ を $\vec a,\vec b$ で表す。次に、交点 $R$ が直線 $AQ$ 上にも直線 $BP$ 上にもあることを利用して、$R$ の位置ベクトルを2通りに表して係数比較する。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\vec a,\ \overrightarrow{OB}=\vec b$ とおく。

$P$ は $OA$ を $3:2$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{3}{5}\vec a

$$

である。また、$Q$ は $OB$ を $3:1$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{3}{4}\vec b

$$

である。

点 $R$ は直線 $AQ$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OQ} =(1-s)\vec a+\frac{3s}{4}\vec b

$$

と表せる。

一方、点 $R$ は直線 $BP$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OR} =(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OP} =\frac{3t}{5}\vec a+(1-t)\vec b

$$

と表せる。

したがって、$\vec a,\vec b$ の係数を比較して、

$$ 1-s=\frac{3t}{5},\qquad \frac{3s}{4}=1-t

$$

を得る。

第1式より、

$$ t=\frac{5(1-s)}{3}

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ \frac{3s}{4} =1-\frac{5(1-s)}{3} =\frac{5s-2}{3}

$$

となる。よって、

$$ 9s=20s-8

$$

であるから、

$$ s=\frac{8}{11}

$$

を得る。

したがって、

$$ \overrightarrow{OR} =(1-s)\vec a+\frac{3s}{4}\vec b =\frac{3}{11}\vec a+\frac{6}{11}\vec b

$$

である。

ゆえに、

$$ \overrightarrow{OR} =\frac{3}{11}\overrightarrow{OA} +\frac{6}{11}\overrightarrow{OB}

$$

となる。

解説

この問題では、交点 $R$ を直接求めようとするのではなく、$R$ が2本の直線 $AQ$ と $BP$ の両方にあることを利用するのが基本である。

直線上の点は、端点の位置ベクトルの一次結合で表せる。そこで $AQ$ 上の表し方と $BP$ 上の表し方を作り、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の係数を比較すればよい。

内分比から

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA},\qquad \overrightarrow{OQ}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}

$$

とできる点が最初の重要な処理である。

答え

$$ \text{[ア]}=\frac{3}{11},\qquad \text{[イ]}=\frac{6}{11}

$$