基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題64 解説
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解説
方針・初手
与えられた $|\vec{a}-2\vec{b}|$ を2乗し、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を含む形に展開する。
面積は、2つのベクトルがつくる三角形の面積公式
$$ \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}
$$
を用いる。
解法1
まず、
$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2=(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})
$$
であるから、展開すると
$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2
$$
となる。
条件より $|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=2,\ |\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{7}$ であるから、
$$ 7=3^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4\cdot 2^2
$$
すなわち
$$ 7=9-4\vec{a}\cdot\vec{b}+16
$$
である。したがって、
$$ 4\vec{a}\cdot\vec{b}=18
$$
より、
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2}
$$
である。
次に、$\triangle OAB$ の面積を求める。$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b}$ なので、面積は
$$ \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}
$$
である。
これに値を代入すると、
$$ \begin{aligned} \triangle OAB &= \frac{1}{2}\sqrt{3^2\cdot 2^2-\left(\frac{9}{2}\right)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{36-\frac{81}{4}} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{63}{4}} \\ &= \frac{3\sqrt{7}}{4} \end{aligned}
$$
となる。
解説
$|\vec{a}-2\vec{b}|$ の条件は、そのまま長さとして扱うのではなく、2乗して内積の式に直すのが基本である。
また、面積は
$$ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta
$$
でも求められるが、今回は $\vec{a}\cdot\vec{b}$ が先に求まるので、
$$ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2
$$
を使う公式が最も直接的である。
答え
**(1)**
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2}
$$
**(2)**
$$ \triangle OAB=\frac{3\sqrt{7}}{4}
$$