解説

方針・初手

$\overrightarrow{OC}=\vec b-\dfrac{2}{3}\vec a$ と $OA=OB=1$ から、まず $\vec a\cdot\vec b$ を求める。

その後、点 $P$ は線分 $OB$ 上にあるので $\overrightarrow{OP}=\lambda\vec b$ とおき、同時に $P$ が直線 $CD$ 上にある条件から $\lambda$ を求める。重心の位置は $\vec a,\vec b$ の係数で三角形 $OAB$ 内にある条件を調べればよい。

解法1

$\overrightarrow{OC}=\vec b-\dfrac{2}{3}\vec a$ であるから、

$$ \overrightarrow{CB} =\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} =\vec b-\left(\vec b-\frac{2}{3}\vec a\right) =\frac{2}{3}\vec a

$$

である。

また、$OC=\dfrac{\sqrt7}{3}$ より、

$$ \left|\vec b-\frac{2}{3}\vec a\right|^2=\frac{7}{9}

$$

である。$|\vec a|=|\vec b|=1$ を用いると、

$$ 1+\frac{4}{9}-\frac{4}{3}\vec a\cdot\vec b=\frac{7}{9}

$$

したがって、

$$ \frac{13}{9}-\frac{4}{3}\vec a\cdot\vec b=\frac{7}{9}

$$

より、

$$ \vec a\cdot\vec b=\frac{1}{2}

$$

である。よって、

$$ |\vec a+\vec b|^2 =|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2 =1+2\cdot\frac{1}{2}+1 =3

$$

より、

$$ |\vec a+\vec b|=\sqrt3

$$

である。また、

$$ \cos\angle AOB=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =\frac{1}{2}

$$

であるから、

$$ \angle AOB=60^\circ

$$

である。

次に、$D$ は $\overrightarrow{OD}=t\vec a$ を満たす点である。点 $P$ は線分 $OB$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OP}=\lambda\vec b

$$

とおく。

一方、$P$ は直線 $CD$ 上にもあるから、ある実数 $s$ を用いて、

$$ \overrightarrow{OP} =\overrightarrow{OC}+s(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC})

$$

と書ける。これに $\overrightarrow{OC}=\vec b-\dfrac{2}{3}\vec a,\ \overrightarrow{OD}=t\vec a$ を代入すると、

$$ \lambda\vec b = \left(\vec b-\frac{2}{3}\vec a\right) +s\left(t\vec a-\vec b+\frac{2}{3}\vec a\right)

$$

すなわち、

$$ \lambda\vec b = \left\{-\frac{2}{3}+s\left(t+\frac{2}{3}\right)\right\}\vec a +(1-s)\vec b

$$

である。$\vec a,\vec b$ は一次独立であるから、係数を比較して、

$$ -\frac{2}{3}+s\left(t+\frac{2}{3}\right)=0

$$

より、

$$ s=\frac{2}{3t+2}

$$

である。したがって、

$$ \lambda=1-s =1-\frac{2}{3t+2} =\frac{3t}{3t+2}

$$

となる。よって、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{3t}{3t+2}\vec b

$$

である。

次に、$\triangle OPD$ の重心を $G$ とする。$O$ の位置ベクトルは $\vec0$ であるから、

$$ \overrightarrow{OG} =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OD}\right) =\frac{1}{3}\left(\frac{3t}{3t+2}\vec b+t\vec a\right)

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{t}{3}\vec a+\frac{t}{3t+2}\vec b

$$

である。

点 $G$ が $\triangle OAB$ の内部または周上にある条件は、$\overrightarrow{OG}=x\vec a+y\vec b$ と書いたとき、

$$ x\geqq0,\quad y\geqq0,\quad x+y\leqq1

$$

である。ここで $t>0$ なので、$x=\dfrac{t}{3},\ y=\dfrac{t}{3t+2}$ はともに正である。よって必要十分条件は、

$$ \frac{t}{3}+\frac{t}{3t+2}\leqq1

$$

である。

これを整理すると、

$$ t(3t+2)+3t\leqq3(3t+2)

$$

より、

$$ 3t^2+5t\leqq9t+6

$$

すなわち、

$$ 3t^2-4t-6\leqq0

$$

である。この2次方程式の解は、

$$ t=\frac{2\pm\sqrt{22}}{3}

$$

であり、$t>0$ だから、

$$ 0<t\leqq\frac{2+\sqrt{22}}{3}

$$

となる。

最後に、$\triangle OPD$ の外心を $R$ とし、$\overrightarrow{OR}=\vec r$ とおく。外心は $O,D$ から等距離にあるから、

$$ |\vec r|^2=|\vec r-\overrightarrow{OD}|^2

$$

である。これを展開すると、

$$ 2\vec r\cdot\overrightarrow{OD}=|\overrightarrow{OD}|^2

$$

すなわち、

$$ \left(\vec r-\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\right)\cdot\overrightarrow{OD}=0

$$

である。$\overrightarrow{OD}$ は $\vec a$ と平行なので、

$$ \overrightarrow{OR}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

$$

と $\vec a$ は垂直である。

同様に、外心は $O,P$ からも等距離にあるから、

$$ \overrightarrow{OR}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OP}

$$

と $\vec b$ は垂直である。したがって、

$$ [6]=\frac{1}{2}

$$

である。

$t=\dfrac{1}{3}$ のとき、

$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{3}\vec a,\qquad \overrightarrow{OP} = \frac{3\cdot\frac{1}{3}}{3\cdot\frac{1}{3}+2}\vec b =\frac{1}{3}\vec b

$$

である。$\overrightarrow{OR}=x\vec a+y\vec b$ とおく。

外心の条件より、

$$ \left(\overrightarrow{OR}-\frac{1}{6}\vec a\right)\cdot\vec a=0

$$

および

$$ \left(\overrightarrow{OR}-\frac{1}{6}\vec b\right)\cdot\vec b=0

$$

である。$\vec a\cdot\vec b=\dfrac{1}{2}$ を用いると、

$$ x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{6}

$$

および

$$ \frac{1}{2}x+y=\frac{1}{6}

$$

となる。これらを解くと、

$$ x=y=\frac{1}{9}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{1}{9}\vec a+\frac{1}{9}\vec b

$$

である。

さらに、

$$ |\overrightarrow{OR}| = \left|\frac{1}{9}(\vec a+\vec b)\right|

\frac{1}{9}|\vec a+\vec b|

\frac{\sqrt3}{9}

$$

である。

解説

この問題では、まず $\overrightarrow{OC}=\vec b-\dfrac{2}{3}\vec a$ と $OC=\dfrac{\sqrt7}{3}$ から内積 $\vec a\cdot\vec b$ を決定することが出発点である。これにより、$\angle AOB=60^\circ$ が分かり、以後の計算で $\vec a\cdot\vec b=\dfrac{1}{2}$ を使える。

点 $P$ は「線分 $OB$ 上」と「直線 $CD$ 上」という2つの条件を満たすので、$\overrightarrow{OP}=\lambda\vec b$ とおいて、直線 $CD$ 上の表示と係数比較するのが自然である。

重心が三角形内にある条件は、$\vec a,\vec b$ を基底とした係数で $x\geqq0,\ y\geqq0,\ x+y\leqq1$ と表せる。ここで $t>0$ により $x,y$ の非負条件は自動的に満たされるため、最後は $x+y\leqq1$ だけを調べればよい。

外心については、垂直二等分線の条件をベクトルで表すことが重要である。すなわち、外心 $R$ について、$\overrightarrow{OR}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}$ は $\overrightarrow{OD}$ に垂直であり、$\overrightarrow{OR}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OP}$ に垂直である。

答え

$$ [1]=\frac{2}{3}\vec a

$$

$$ [2]=\sqrt3

$$

$$ [3]=60

$$

$$ [4]=\frac{3t}{3t+2}

$$

$$ [5]=\frac{2+\sqrt{22}}{3}

$$

$$ [6]=\frac{1}{2}

$$

$$ [7]=\frac{1}{9}

$$

$$ [8]=\frac{1}{9}

$$

$$ [9]=\frac{\sqrt3}{9}

$$