基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題70 解説
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解説
方針・初手
$O$ は外心であり、$|\vec a|=1$ だから
$$ |\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1
$$
である。
点 $P$ の位置ベクトルは $\vec a+\vec b+\vec c$ なので、直線 $AP$ の方向ベクトルは
$$ \overrightarrow{AP}=(\vec a+\vec b+\vec c)-\vec a=\vec b+\vec c
$$
である。直線 $BC$ の方向ベクトルは $\vec c-\vec b$ であるから、内積を調べればよい。
解法1
**(1)**
直線 $AP$ の方向ベクトルは
$$ \overrightarrow{AP}=\vec b+\vec c
$$
であり、直線 $BC$ の方向ベクトルは
$$ \overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b
$$
である。
この2つの内積を計算すると、
$$ (\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b) = \vec b\cdot\vec c-\vec b\cdot\vec b+\vec c\cdot\vec c-\vec c\cdot\vec b
$$
である。内積の対称性より $\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec b$ だから、
$$ (\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b) = -|\vec b|^2+|\vec c|^2
$$
となる。
$O$ は外心であるから $|\vec b|=|\vec c|=1$ であり、
$$ -|\vec b|^2+|\vec c|^2=-1+1=0
$$
である。
したがって、直線 $AP$ と直線 $BC$ の方向ベクトルは直交する。よって、直線 $AP$ と直線 $BC$ は垂直に交わる。
**(2)**
$\overrightarrow{OP}\parallel AB$ であるから、ある実数 $\lambda$ を用いて
$$ \overrightarrow{OP}=\lambda(\vec b-\vec a)
$$
とおける。
一方で、
$$ \overrightarrow{OP}=\vec a+\vec b+\vec c
$$
であるから、
$$ \vec a+\vec b+\vec c=\lambda(\vec b-\vec a)
$$
となる。したがって、
$$ \vec c=-(\lambda+1)\vec a+(\lambda-1)\vec b
$$
である。
ここで
$$ \vec c=s\vec a+t\vec b
$$
と表すと、
$$ s=-(\lambda+1),\qquad t=\lambda-1
$$
である。よって
$$ s+t=-2
$$
が成り立つ。
また、$|\vec c|=1$ であり、$\vec a\cdot\vec b=-\dfrac34$ だから、
$$ \begin{aligned} 1 &=|\vec c|^2 \\ &=|s\vec a+t\vec b|^2 \\ &=s^2|\vec a|^2+t^2|\vec b|^2+2st(\vec a\cdot\vec b) \\ &=s^2+t^2-\frac32st \end{aligned}
$$
である。
$s+t=-2$ より、
$$ s^2+t^2=(s+t)^2-2st=4-2st
$$
だから、
$$ 1=4-2st-\frac32st
$$
となる。したがって、
$$ 1=4-\frac72st
$$
より、
$$ st=\frac67
$$
である。
よって $s,t$ は、和が $-2$、積が $\dfrac67$ である2数である。したがって、$s,t$ は2次方程式
$$ X^2+2X+\frac67=0
$$
の2解である。
これを解くと、
$$ X=\frac{-2\pm\sqrt{4-\frac{24}{7}}}{2} = \frac{-2\pm\sqrt{\frac47}}{2}
-1\pm\frac{1}{\sqrt7}
$$
である。
したがって、
$$ (s,t)=\left(-1+\frac1{\sqrt7},-1-\frac1{\sqrt7}\right)
$$
または
$$ (s,t)=\left(-1-\frac1{\sqrt7},-1+\frac1{\sqrt7}\right)
$$
である。
解説
この問題の本質は、$\vec a,\vec b,\vec c$ がすべて外接円の半径ベクトルであるため、長さが等しいという点にある。
**(1)**
では、$\overrightarrow{AP}=\vec b+\vec c$、$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ と見抜けば、
$$ (\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b)=|\vec c|^2-|\vec b|^2
$$
となり、外心の条件だけで直交が示せる。
**(2)**
では、$\overrightarrow{OP}\parallel AB$ から
$$ \vec a+\vec b+\vec c \parallel \vec b-\vec a
$$
と置くのが自然である。その結果 $s+t=-2$ が得られ、あとは $|\vec c|=1$ と $\vec a\cdot\vec b=-\dfrac34$ を用いて $st$ を求めるだけである。
答え
**(1)**
直線 $AP$ と直線 $BC$ は垂直に交わる。
**(2)**
$$ (s,t)=\left(-1+\frac1{\sqrt7},-1-\frac1{\sqrt7}\right)
$$
または
$$ (s,t)=\left(-1-\frac1{\sqrt7},-1+\frac1{\sqrt7}\right)
$$