解説

方針・初手

$BD$ は三角形 $ABD$ と三角形 $BCD$ の共通辺である。四角形 $ABCD$ は円に内接するので、向かい合う角が補角になることを用いて、余弦定理から $BD$ を求める。

その後、対角線の交点 $E$ に関する比は、面積比と正弦定理を組み合わせて求める。最後のベクトルは、$E$ が $AC$ と $BD$ をどの比に内分するかを使って表す。

解法1

$BD=x$、$\angle BAD=\theta$ とおく。四角形 $ABCD$ は円に内接するから、

$$ \angle BCD=180^\circ-\theta

$$

である。

三角形 $ABD$ に余弦定理を用いると、

$$ x^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos\theta =1^2+4^2-2\cdot1\cdot4\cos\theta

$$

より、

$$ x^2=17-8\cos\theta

$$

である。

一方、三角形 $BCD$ に余弦定理を用いると、

$$ x^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos(180^\circ-\theta)

$$

であり、$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$ だから、

$$ x^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3(-\cos\theta) =13+12\cos\theta

$$

である。

したがって、

$$ 17-8\cos\theta=13+12\cos\theta

$$

より、

$$ 20\cos\theta=4

$$

となるので、

$$ \cos\theta=\frac15

$$

である。これを $x^2=17-8\cos\theta$ に代入すると、

$$ x^2=17-\frac85=\frac{77}{5}

$$

よって、

$$ BD=\sqrt{\frac{77}{5}}=\frac{\sqrt{385}}5

$$

である。

次に、$BE:ED$ を求める。$E$ は $BD$ 上にあるので、三角形 $ABE$ と三角形 $ADE$ は、底辺をそれぞれ $BE,ED$ と見たとき、高さが等しい。したがって、

$$ \frac{BE}{ED}=\frac{[ABE]}{[ADE]}

$$

である。

面積を $AB,AD,AE$ を用いて表すと、

$$ \begin{aligned} \frac{[ABE]}{[ADE]} &= \frac{AB\cdot AE\sin\angle BAE}{AD\cdot AE\sin\angle EAD}\\ &= \frac{AB}{AD}\cdot \end{aligned} \frac{\sin\angle BAC}{\sin\angle CAD}

$$

となる。

円周角の定理より、

$$ \angle BAC=\angle BDC,\qquad \angle CAD=\angle CBD

$$

であるから、

$$ \frac{BE}{ED} = \frac{AB}{AD}\cdot \frac{\sin\angle BDC}{\sin\angle CBD}

$$

である。

三角形 $BCD$ に正弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{\sin\angle BDC}{\sin\angle CBD} &= \frac{BC}{CD}\\ &= \frac23 \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{BE}{ED} &= \frac14\cdot\frac23\\ &= \frac16 \end{aligned} $$

より、

$$ BE:ED=1:6

$$

である。よって、

$$ \overrightarrow{BE}=\frac17\overrightarrow{BD}

$$

である。

次に、ベクトルを求めるために $AE:EC$ も求める。三角形 $ABE$ と三角形 $CBE$ に正弦定理を用いると、

$$ \frac{AE}{EC} = \frac{AB\sin\angle ABE}{BC\sin\angle EBC}

$$

である。

ここで、$E$ は $BD$ 上にあるから、

$$ \angle ABE=\angle ABD,\qquad \angle EBC=\angle DBC

$$

である。さらに円周角の定理より、

$$ \angle ABD=\angle ACD,\qquad \angle DBC=\angle DAC

$$

である。

したがって、

$$ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\cdot \frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle DAC}

$$

である。三角形 $ACD$ に正弦定理を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{\sin\angle ACD}{\sin\angle DAC} &= \frac{AD}{CD}\\ &= \frac43 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{AE}{EC} &= \frac12\cdot\frac43\\ &= \frac23 \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ AE:EC=2:3

$$

である。

したがって、$E$ は $AC$ を $2:3$ に内分する点なので、

$$ \overrightarrow{BE} = \frac{3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}}5

$$

である。

一方、

$$ \overrightarrow{BE}=\frac17\overrightarrow{BD}

$$

だから、

$$ \frac17\overrightarrow{BD} = \frac{3\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}}5

$$

である。これを整理すると、

$$ 2\overrightarrow{BC} = \frac57\overrightarrow{BD}-3\overrightarrow{BA}

$$

より、

$$ \overrightarrow{BC} = \frac{5}{14}\overrightarrow{BD} -\frac32\overrightarrow{BA}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE} &= \left( \frac{5}{14}\overrightarrow{BD} -\frac32\overrightarrow{BA} \right) +\frac17\overrightarrow{BD} \\ &= \frac12\overrightarrow{BD} -\frac32\overrightarrow{BA} \end{aligned}

$$

である。

さらに、

$$ \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE} &= \frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}) -\frac32\overrightarrow{BA} \\ &= -\overrightarrow{BA} +\frac12\overrightarrow{AD} \\ &= \overrightarrow{AB} +\frac12\overrightarrow{AD} \end{aligned}

$$

である。

なお、このベクトルの大きさは、

$$ \begin{aligned} \left|\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AD}\right|^2 &= AB^2+\frac14AD^2+AB\cdot AD\cos\angle BAD \\ &= 1^2+\frac14\cdot4^2+1\cdot4\cdot\frac15 \\ &= 1+4+\frac45 \\ &= \frac{29}{5} \end{aligned}

$$

より、

$$ \left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}\right| = \sqrt{\frac{29}{5}}

$$

である。

解説

円に内接する四角形では、向かい合う角が補角になる。この性質により、2つの三角形 $ABD,BCD$ に余弦定理を適用して同じ $BD^2$ を表すと、$BD$ が求まる。

また、対角線の交点に関する比は、単に交わる弦の定理だけでは足りない。面積比、円周角の定理、正弦定理を組み合わせることで、

$$ BE:ED=AB\cdot BC:AD\cdot CD

$$

に相当する比が得られる。

ベクトルの計算では、$E$ が $BD$ を $1:6$ に内分し、さらに $AC$ を $2:3$ に内分することを使うのが重要である。点 $E$ を2通りに表すことで、$\overrightarrow{BC}$ を基準ベクトルで表せる。

答え

**(1)**

$$ BD=\sqrt{\frac{77}{5}}=\frac{\sqrt{385}}5

$$

**(2)**

$$ BE:ED=1:6

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} +\frac12\overrightarrow{AD}

$$

このベクトルの大きさは、

$$ \left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}\right| = \sqrt{\frac{29}{5}}

$$