解説

方針・初手

点 $P$ は直線 $ON$ 上にも直線 $LM$ 上にもある。したがって、$\overrightarrow{OP}$ をそれぞれの直線上の点として2通りに表し、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の係数を比較する。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。

$L$ は辺 $OA$ を $2:1$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OL}=\frac{2}{3}\mathbf{a}

$$

である。また、$M$ は辺 $OB$ を $1:2$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\mathbf{b}

$$

である。

さらに、$N$ は辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点であるから、$AN:NB=3:2$ より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ON} &= \frac{2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{5}\\ &= \frac{2}{5}\mathbf{a}+\frac{3}{5}\mathbf{b} \end{aligned} $$

となる。

点 $P$ は線分 $ON$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= t\overrightarrow{ON}\\ &= \frac{2t}{5}\mathbf{a}+\frac{3t}{5}\mathbf{b} \end{aligned} $$

と表せる。

一方、点 $P$ は線分 $LM$ 上にもあるので、実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OL}+s\left(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OL}\right)

$$

と表せる。これに $\overrightarrow{OL}=\dfrac{2}{3}\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{3}\mathbf{b}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{2}{3}\mathbf{a} +s\left(\frac{1}{3}\mathbf{b}-\frac{2}{3}\mathbf{a}\right) \\ &= \frac{2(1-s)}{3}\mathbf{a} +\frac{s}{3}\mathbf{b} \end{aligned}

$$

である。

したがって、$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ の係数を比較して、

$$ \frac{2t}{5}=\frac{2(1-s)}{3}, \qquad \frac{3t}{5}=\frac{s}{3}

$$

を得る。

第2式より、

$$ s=\frac{9t}{5}

$$

である。これを第1式に代入すると、

$$ \frac{2t}{5} = \frac{2}{3}\left(1-\frac{9t}{5}\right)

$$

となる。両辺を $2$ で割って整理すると、

$$ \frac{t}{5} = \frac{1}{3}-\frac{3t}{5}

$$

であるから、

$$ \frac{4t}{5}=\frac{1}{3}

$$

となり、

$$ t=\frac{5}{12}

$$

を得る。

よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{5}{12}\left(\frac{2}{5}\mathbf{a}+\frac{3}{5}\mathbf{b}\right) \\ &= \frac{1}{6}\mathbf{a}+\frac{1}{4}\mathbf{b} \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}

$$

と表される。

解説

この問題では、交点 $P$ を2本の直線上の点として表すことが重要である。直線 $ON$ 上にあることから $t\overrightarrow{ON}$ と表し、直線 $LM$ 上にあることから $\overrightarrow{OL}+s(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OL})$ と表す。

その後、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は三角形の2辺を表す独立なベクトルなので、それぞれの係数を比較すればよい。内分点の位置ベクトルを正確に書けるかがこの問題の中心である。

答え

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}

$$

したがって、空欄は

$$ [7]=\frac{1}{6}, \qquad [8]=\frac{1}{4}

$$