解説

方針・初手

辺の長さ $AB=k$ は、ベクトルでは $|\vec b-\vec a|=k$ と表せる。まずこれを展開して $\vec a\cdot\vec b$ を求める。

角の二等分線については、二等分線定理により、交点が辺を分ける比に直す。内心は、2本の角の二等分線の交点として求める。

解法1

**(1)**

$AB=k$ より、

$$ |\vec b-\vec a|=k

$$

である。両辺を2乗すると、

$$ |\vec b-\vec a|^2=k^2

$$

となる。ここで $|\vec a|=OA=4,\ |\vec b|=OB=5$ であるから、

$$ \begin{aligned} |\vec b-\vec a|^2 &=|\vec b|^2+|\vec a|^2-2\vec a\cdot\vec b\\ &=25+16-2\vec a\cdot\vec b\\ &=41-2\vec a\cdot\vec b \end{aligned}

$$

よって、

$$ k^2=41-2\vec a\cdot\vec b

$$

であるから、

$$ \vec a\cdot\vec b=\frac{41-k^2}{2}

$$

となる。

**(2)**

点 $P$ は $\angle AOB$ の二等分線と辺 $AB$ の交点である。二等分線定理より、

$$ AP:PB=OA:OB=4:5

$$

である。

したがって、$P$ は $A$ と $B$ を $4:5$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OP} =\frac{5\vec a+4\vec b}{9}

$$

となる。

次に、点 $Q$ は $\angle OAB$ の二等分線と辺 $OB$ の交点である。二等分線定理より、

$$ OQ:QB=AO:AB=4:k

$$

である。

点 $Q$ は辺 $OB$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{OQ}{OB}\vec b

$$

と表せる。また、

$$ \frac{OQ}{OB}=\frac{4}{4+k}

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{4}{k+4}\vec b

$$

となる。

**(3)**

内心 $I$ は2本の内角の二等分線の交点である。したがって、$I$ は直線 $OP$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OI} =t\overrightarrow{OP} =t\frac{5\vec a+4\vec b}{9}

$$

とおける。

また、$I$ は直線 $AQ$ 上にもある。よって、ある実数 $u$ を用いて

$$ \overrightarrow{OI} =\vec a+u(\overrightarrow{OQ}-\vec a)

$$

と表せる。

(2)より $\overrightarrow{OQ}=\dfrac{4}{k+4}\vec b$ であるから、

$$ \overrightarrow{OI} =(1-u)\vec a+\frac{4u}{k+4}\vec b

$$

である。

一方、

$$ t\frac{5\vec a+4\vec b}{9} =\frac{5t}{9}\vec a+\frac{4t}{9}\vec b

$$

である。係数を比較すると、

$$ \frac{5t}{9}=1-u,\qquad \frac{4t}{9}=\frac{4u}{k+4}

$$

である。後式より、

$$ u=\frac{(k+4)t}{9}

$$

である。これを前式に代入すると、

$$ \frac{5t}{9}=1-\frac{(k+4)t}{9}

$$

すなわち、

$$ \frac{(k+9)t}{9}=1

$$

となる。したがって、

$$ t=\frac{9}{k+9}

$$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{OI} =\frac{9}{k+9}\cdot\frac{5\vec a+4\vec b}{9} =\frac{5\vec a+4\vec b}{k+9}

$$

となる。

**(4)**

点 $H$ は直線 $OA$ 上にあるので、ある実数 $x$ を用いて

$$ \overrightarrow{OH}=x\vec a

$$

とおける。

また、$IH\perp OA$ より、

$$ \overrightarrow{IH}\cdot\vec a=0

$$

である。ここで、

$$ \overrightarrow{IH} =\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OI} =x\vec a-\frac{5\vec a+4\vec b}{k+9}

$$

であるから、

$$ \left(x\vec a-\frac{5\vec a+4\vec b}{k+9}\right)\cdot\vec a=0

$$

となる。

これを展開すると、

$$ x|\vec a|^2-\frac{5|\vec a|^2+4\vec a\cdot\vec b}{k+9}=0

$$

である。$|\vec a|=4$ と (1) の結果より、

$$ 16x-\frac{80+4\cdot\dfrac{41-k^2}{2}}{k+9}=0

$$

である。したがって、

$$ 16x-\frac{162-2k^2}{k+9}=0

$$

となる。

ここで、

$$ 162-2k^2=2(81-k^2)=2(9-k)(9+k)

$$

であるから、

$$ 16x=2(9-k)

$$

よって、

$$ x=\frac{9-k}{8}

$$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{IH} =\frac{9-k}{8}\vec a-\frac{5\vec a+4\vec b}{k+9}

$$

である。整理すると、

$$ \overrightarrow{IH} =\left(\frac{9-k}{8}-\frac{5}{k+9}\right)\vec a-\frac{4}{k+9}\vec b

$$

であり、

$$ \frac{9-k}{8}-\frac{5}{k+9} =\frac{(9-k)(k+9)-40}{8(k+9)} =\frac{41-k^2}{8(k+9)}

$$

となる。よって、

$$ \overrightarrow{IH} =\frac{41-k^2}{8(k+9)}\vec a-\frac{4}{k+9}\vec b

$$

である。

解説

この問題では、長さ $AB=k$ を $|\vec b-\vec a|=k$ と見ることが最初の要点である。これにより、内積 $\vec a\cdot\vec b$ が $k$ で表せる。

角の二等分線が出てきたら、まず二等分線定理で辺を分ける比に直す。点 $P,Q$ の位置ベクトルは、内分公式と辺上の比から求められる。

内心 $I$ は3本の角の二等分線の交点であるが、2本の二等分線の交点で十分に決まる。ここでは、(2)で求めた $P,Q$ を用いて、$I$ が直線 $OP$ と直線 $AQ$ の交点であることから求めている。

最後の $\overrightarrow{IH}$ は、$H$ を直線 $OA$ 上の点として $\overrightarrow{OH}=x\vec a$ とおき、垂直条件を内積 $0$ に変換するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \vec a\cdot\vec b=\frac{41-k^2}{2}

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{5\vec a+4\vec b}{9}

$$

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{4}{k+4}\vec b

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{OI}=\frac{5\vec a+4\vec b}{k+9}

$$

**(4)**

$$ \overrightarrow{IH} =\frac{41-k^2}{8(k+9)}\vec a-\frac{4}{k+9}\vec b

$$