解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を成分で表し、まず内積と長さを確認する。するとこの2つのベクトルは直交し、しかも長さが等しいので、$\overrightarrow{OP}$ の式は点 $P$ の軌跡を円として読み取ることができる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおくと、

$$ \mathbf{a}=(2,1),\qquad \mathbf{b}=(1,-2)

$$

である。

まず内積は

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2\cdot 1+1\cdot(-2)=0

$$

となる。よって

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0

$$

である。

また、

$$ |\mathbf{a}|^2=2^2+1^2=5,\qquad |\mathbf{b}|^2=1^2+(-2)^2=5

$$

であるから、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ は直交し、長さが等しい。

点 $P$ の位置ベクトルを $\mathbf{p}$ とすると、

$$ \mathbf{p}=(\cos\theta)\mathbf{a}+(1-\sin\theta)\mathbf{b}

$$

である。これを

$$ \mathbf{p}-\mathbf{b}=(\cos\theta)\mathbf{a}-(\sin\theta)\mathbf{b}

$$

と変形する。

両辺の長さの2乗をとると、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ より、

$$ |\mathbf{p}-\mathbf{b}|^2 = (\cos^2\theta)|\mathbf{a}|^2+(\sin^2\theta)|\mathbf{b}|^2

$$

となる。ここで $|\mathbf{a}|^2=|\mathbf{b}|^2=5$ だから、

$$ \begin{aligned} |\mathbf{p}-\mathbf{b}|^2 &= 5(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\ &= 5 \end{aligned} $$

である。

したがって、点 $P$ は点 $B(1,-2)$ を中心とし、半径 $\sqrt{5}$ の円上を動く。よって軌跡は

$$ (x-1)^2+(y+2)^2=5

$$

である。

次に、$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ を求める。

$$ \overrightarrow{PA}=\mathbf{a}-\mathbf{p},\qquad \overrightarrow{PB}=\mathbf{b}-\mathbf{p}

$$

である。先ほどの式

$$ \mathbf{p}=\mathbf{b}+(\cos\theta)\mathbf{a}-(\sin\theta)\mathbf{b}

$$

を用いると、

$$ \overrightarrow{PB} = \mathbf{b}-\mathbf{p}

-(\cos\theta)\mathbf{a}+(\sin\theta)\mathbf{b}

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA} &= \mathbf{a}-\mathbf{p}\\ &= \mathbf{a}-\mathbf{b}-(\cos\theta)\mathbf{a}+(\sin\theta)\mathbf{b} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \mathbf{u}=(\cos\theta)\mathbf{a}-(\sin\theta)\mathbf{b}

$$

とおくと、

$$ \overrightarrow{PB}=-\mathbf{u},\qquad \overrightarrow{PA}=\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{u}

$$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} &= (\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{u})\cdot(-\mathbf{u})\\ &= |\mathbf{u}|^2-(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot\mathbf{u} \end{aligned} $$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} |\mathbf{u}|^2 &= 5(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\ &= 5 \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot\mathbf{u} &= (\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot{(\cos\theta)\mathbf{a}-(\sin\theta)\mathbf{b}} \\ &= (\cos\theta)|\mathbf{a}|^2+(\sin\theta)|\mathbf{b}|^2 \\ &= 5\cos\theta+5\sin\theta \end{aligned}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} &= 5-5\cos\theta-5\sin\theta\\ &= 5(1-\cos\theta-\sin\theta) \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \cos\theta+\sin\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)

$$

であるから、

$$

$$

• \sqrt{2}\leq \cos\theta+\sin\theta \leq \sqrt{2}

である。したがって、$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ が最大となるのは $\cos\theta+\sin\theta$ が最小となるときである。

その最小値は $-\sqrt{2}$ であり、

$$ \sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=-1

$$

のときに成り立つ。$0\leq\theta<2\pi$ より、

$$ \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}

$$

したがって、

$$ \theta=\frac{5\pi}{4}

$$

である。

このとき、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} &= 5{1-(-\sqrt{2})}\\ &= 5(1+\sqrt{2}) \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ が直交し、かつ長さが等しいことに気づく点である。これにより、$\cos\theta$ と $\sin\theta$ を係数にもつ部分が円運動を表していると見抜ける。

特に、

$$ \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB} = (\cos\theta)\overrightarrow{OA}-(\sin\theta)\overrightarrow{OB}

$$

と変形すると、点 $P$ が点 $B$ を中心とする円上にあることが自然に分かる。

また、$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ は直接座標で計算してもよいが、ベクトルの直交性を使うと式がかなり簡潔になる。最終的には $\cos\theta+\sin\theta$ の最小値を調べる問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0

$$

**(2)**

点 $P$ の軌跡は、点 $B(1,-2)$ を中心とし、半径 $\sqrt{5}$ の円である。

$$ (x-1)^2+(y+2)^2=5

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}

$$

の最大値は

$$ 5(1+\sqrt{2})

$$

であり、そのとき

$$ \theta=\frac{5\pi}{4}

$$

である。