解説

方針・初手

重心の性質は位置ベクトルで表すのが最も直接的である。また、外心 $E$ を原点に取ると、$\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EC}$ の長さがすべて等しくなるので、直交条件を内積で示しやすい。

解法1

まず任意の原点 $O$ を取り、

$$ \overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a},\quad \overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b},\quad \overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c},\quad \overrightarrow{OG}=\boldsymbol{g}

$$

とおく。

$G$ は $\triangle ABC$ の重心であるから、

$$ \boldsymbol{g}=\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} &=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{g})+(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{g})+(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{g})\\ &=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-3\boldsymbol{g}\\ &=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\\ &=\boldsymbol{0}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}

$$

が示された。

次に、外接円の中心 $E$ を原点に取る。すなわち、

$$ \overrightarrow{EA}=\boldsymbol{a},\quad \overrightarrow{EB}=\boldsymbol{b},\quad \overrightarrow{EC}=\boldsymbol{c}

$$

とおく。

$E$ は外心であるから、

$$ |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{c}|

$$

である。

条件

$$ \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EH}

$$

より、

$$ \overrightarrow{EH}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{AH} =\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{EA} =(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})-\boldsymbol{a} =\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}

$$

である。また、

$$ \overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC} &=(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})\\ &=\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}-|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2-\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}\\ &=|\boldsymbol{c}|^2-|\boldsymbol{b}|^2\\ &=0. \end{aligned}

$$

よって $AH\perp BC$ である。

同様に、

$$ \overrightarrow{BH}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c},\quad \overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}

$$

より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CA} &=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\\ &=|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{c}|^2\\ &=0. \end{aligned}

$$

したがって $BH\perp CA$ である。

以上より、$H$ は $A$ から辺 $BC$ に下ろした高さと、$B$ から辺 $CA$ に下ろした高さの交点である。よって、$H$ は $\triangle ABC$ の垂心である。

最後に、同じく $E$ を原点に取ると、

$$ \overrightarrow{EH}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}

$$

であり、重心 $G$ については

$$ \overrightarrow{EG} =\frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}}{3}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{EG} =\frac{1}{3}\overrightarrow{EH}

$$

となる。

よって、$E,G,H$ は一直線上にある。また、

$$ \overrightarrow{GH} =\overrightarrow{EH}-\overrightarrow{EG} =\overrightarrow{EH}-\frac{1}{3}\overrightarrow{EH} =\frac{2}{3}\overrightarrow{EH}

$$

であるから、$E,G,H$ が相異なる場合、

$$ EG:GH=\frac{1}{3}EH:\frac{2}{3}EH=1:2

$$

である。

なお、正三角形の場合は $E=G=H$ となり、3点は一致する。この場合も上のベクトル関係

$$ \overrightarrow{EG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EH}

$$

は成り立つ。

解説

この問題の核心は、外心 $E$ を原点に取ることである。外心を原点に取ると、$\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EC}$ は同じ円の半径ベクトルになるため、長さが等しい。この性質から、

$$ (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}) =|\boldsymbol{c}|^2-|\boldsymbol{b}|^2

$$

のように、垂直条件が直ちに出る。

また、重心は3頂点の位置ベクトルの平均で表される。外心を原点に取ったとき、

$$ \overrightarrow{EG}=\frac{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}}{3}

$$

となり、一方で条件から

$$ \overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}

$$

である。したがって、

$$ \overrightarrow{EG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EH}

$$

が得られ、$E,G,H$ の一直線性と比が同時に分かる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}

$$

である。

**(2)**

条件

$$ \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EH}

$$

を満たす点 $H$ は、$\triangle ABC$ の垂心である。

**(3)**

$E,G,H$ は一直線上にあり、$E,G,H$ が相異なる場合、

$$ EG:GH=1:2

$$

である。