解説

方針・初手

内分点の位置ベクトルを順にベクトルで表す。まず $P$ が $BC$ を $m:n$ に内分することから $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表し、次に $Q$ が $AP$ を $s:t$ に内分することを用いる。

また、$R$ は直線 $AC$ 上かつ直線 $BQ$ 上にあるので、$\overrightarrow{AR}=x\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{QR}=y\overrightarrow{BQ}$ を同時に使って $\overrightarrow{AQ}$ を別の形で表し、係数を比較する。

解法1

**(1)**

$Q$ は線分 $AP$ を $s:t$ に内分する点であるから、

$$ AQ:QP=s:t

$$

である。したがって、$AP$ 全体のうち $AQ$ は $\dfrac{s}{s+t}$ 倍なので、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{s}{s+t}\overrightarrow{AP}

$$

となる。

**(2)**

$P$ は辺 $BC$ を $m:n$ に内分する点であるから、

$$ BP:PC=m:n

$$

である。内分点の公式より、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}}{m+n}

$$

である。

これを (1) の結果に代入すると、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{s}{s+t} \cdot \frac{n\overrightarrow{AB}+m\overrightarrow{AC}}{m+n}

$$

より、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{sn}{(s+t)(m+n)}\overrightarrow{AB} + \frac{sm}{(s+t)(m+n)}\overrightarrow{AC}

$$

となる。

**(3)**

$R$ は直線 $AC$ 上にあり、

$$ \overrightarrow{AR}=x\overrightarrow{AC}

$$

である。また、

$$ \overrightarrow{QR}=y\overrightarrow{BQ}

$$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QR} &= \overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AQ}\\ &= x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AQ} \end{aligned} $$

また、

$$ \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}

$$

である。よって、

$$ x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AQ} = y\left(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}\right)

$$

となる。これを整理すると、

$$ x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AQ} = y\overrightarrow{AQ}-y\overrightarrow{AB}

$$

より、

$$ (1+y)\overrightarrow{AQ} = y\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}

$$

したがって、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{y}{1+y}\overrightarrow{AB} + \frac{x}{1+y}\overrightarrow{AC}

$$

である。

**(4)**

$s=1,t=2$ のとき、(2) より、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{n}{3(m+n)}\overrightarrow{AB} + \frac{m}{3(m+n)}\overrightarrow{AC}

$$

である。

一方、(3) より、

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{y}{1+y}\overrightarrow{AB} + \frac{x}{1+y}\overrightarrow{AC}

$$

である。

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は三角形の2辺の方向のベクトルであり平行でないから、係数を比較できる。よって、

$$ \frac{y}{1+y} = \frac{n}{3(m+n)}

$$

および

$$ \frac{x}{1+y} = \frac{m}{3(m+n)}

$$

を得る。

まず、

$$ \frac{y}{1+y} = \frac{n}{3(m+n)}

$$

を解くと、

$$ 3(m+n)y=n(1+y)

$$

すなわち、

$$ 3my+3ny=n+ny

$$

であるから、

$$ (3m+2n)y=n

$$

よって、

$$ y=\frac{n}{3m+2n}

$$

である。

次に、

$$ \frac{x}{1+y} = \frac{m}{3(m+n)}

$$

に $y=\dfrac{n}{3m+2n}$ を代入する。

$$ \begin{aligned} 1+y &= 1+\frac{n}{3m+2n}\\ &= \frac{3m+3n}{3m+2n}\\ &= \frac{3(m+n)}{3m+2n} \end{aligned} $$

したがって、

$$ x =

\frac{m}{3(m+n)} \cdot \frac{3(m+n)}{3m+2n} = \frac{m}{3m+2n}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、同じベクトル $\overrightarrow{AQ}$ を2通りに表すことである。

$P$ と $Q$ の内分関係からは、$\overrightarrow{AQ}$ を $m,n,s,t$ を用いて直接表せる。一方、$R$ が直線 $AC$ と直線 $BQ$ の交点であることから、$\overrightarrow{AQ}$ を $x,y$ を用いて表せる。

最後に、$s=1,t=2$ の条件を入れて、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の係数を比較すれば $x,y$ が求まる。三角形 $ABC$ では $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ が平行でないため、係数比較が正当化される点が重要である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{s}{s+t}\overrightarrow{AP}

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{sn}{(s+t)(m+n)}\overrightarrow{AB} + \frac{sm}{(s+t)(m+n)}\overrightarrow{AC}

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{y}{1+y}\overrightarrow{AB} + \frac{x}{1+y}\overrightarrow{AC}

$$

**(4)**

$$ x=\frac{m}{3m+2n}, \qquad y=\frac{n}{3m+2n}

$$