解説

方針・初手

$\vec u$ は座標から $\vec a,\vec b$ の一次結合として表す。直角条件は内積 $0$、交点条件は一直線上にあることを行列式で表す。面積は行列式で表すと、(3) の $k$ と直接結びつく。

解法1

まず

$$ \vec a=\overrightarrow{OA}=(2,1),\qquad \vec b=\overrightarrow{OB}=(0,-1),\qquad \vec u=(2,-1)

$$

である。$\vec u=\alpha\vec a+\beta\vec b$ とおくと、

$$ \alpha(2,1)+\beta(0,-1)=(2\alpha,\alpha-\beta)

$$

であるから、

$$ (2\alpha,\alpha-\beta)=(2,-1)

$$

より

$$ \alpha=1,\qquad \beta=2

$$

を得る。したがって

$$ \vec u=\vec a+2\vec b

$$

である。

次に、点 $P,Q$ の座標を求める。

$$ \overrightarrow{OP} =\vec a+s\vec u =(2,1)+s(2,-1) =(2+2s,1-s)

$$

$$ \overrightarrow{OQ} =\vec b+t\vec u =(0,-1)+t(2,-1) =(2t,-1-t)

$$

$\angle POQ$ が直角であるための条件は

$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} (2+2s,1-s)\cdot(2t,-1-t) &=(2+2s)2t+(1-s)(-1-t)\\ &=4t+4st-1-t+s+st\\ &=5st+s+3t-1 \end{aligned}

$$

であるから、求める条件は

$$ 5st+s+3t-1=0

$$

である。

次に、直線 $PQ$ と直線 $\ell$ の交点を $R$ とする。$R$ は $\ell$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{OR}=k\vec u=(2k,-k)

$$

である。

また、

$$ \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} =(2t-2-2s,-1-t-1+s) =(2(t-s-1),s-t-2)

$$

であり、

$$ \overrightarrow{PR} =\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP} =(2k-2-2s,-k-1+s) =(2(k-s-1),s-k-1)

$$

である。$P,Q,R$ が一直線上にあるので、

$$ \det(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})=0

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} 0 &= 2(t-s-1)(s-k-1)-2(s-t-2)(k-s-1)\\ &=2(3k-s-2t-1) \end{aligned}

$$

より

$$ 3k=s+2t+1

$$

となる。ゆえに

$$ k=\frac{s+2t+1}{3}

$$

である。

最後に、$\angle POQ$ が直角である条件のもとで面積 $F$ を最小にする。三角形 $POQ$ の面積は

$$ F=\frac12\left|\det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ})\right|

$$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}) &=(2+2s)(-1-t)-(1-s)2t\\ &=-2(1+s)(1+t)-2t(1-s)\\ &=-2(1+s+2t) \end{aligned}

$$

であるから、

$$ F=|1+s+2t|

$$

である。一方、(3) より

$$ 1+s+2t=3k

$$

なので、

$$ F=3|k|

$$

である。

直角条件

$$ 5st+s+3t-1=0

$$

は

$$ (5s+3)t+s-1=0

$$

と書ける。ここで $5s+3=0$ とすると $s=-\frac35$ であり、このとき左辺は $s-1=-\frac85$ となって矛盾する。したがって

$$ t=\frac{1-s}{5s+3}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} 1+s+2t &=1+s+2\cdot\frac{1-s}{5s+3}\\ &=\frac{(1+s)(5s+3)+2(1-s)}{5s+3}\\ &=\frac{5s^2+6s+5}{5s+3} \end{aligned}

$$

である。分子 $5s^2+6s+5$ は判別式が

$$ 6^2-4\cdot 5\cdot 5=-64<0

$$

であり、常に正である。

**(i)**

$s>-\frac35$ のとき

このとき $5s+3>0$ であるから、

$$ F=\frac{5s^2+6s+5}{5s+3}

$$

である。すると

$$ \begin{aligned} F-\frac85 &=\frac{5(5s^2+6s+5)-8(5s+3)}{5(5s+3)}\\ &=\frac{25s^2-10s+1}{5(5s+3)}\\ &=\frac{(5s-1)^2}{5(5s+3)} \end{aligned}

$$

である。したがって

$$ F\geqq \frac85

$$

であり、等号は

$$ s=\frac15

$$

のときに成り立つ。このとき

$$ t=\frac{1-\frac15}{5\cdot\frac15+3} =\frac{\frac45}{4} =\frac15

$$

であるから、

$$ k=\frac{s+2t+1}{3} =\frac{\frac15+\frac25+1}{3} =\frac{8}{15}

$$

である。

**(ii)**

$s<-\frac35$ のとき

このとき $5s+3<0$ であるから、

$$ F=-\frac{5s^2+6s+5}{5s+3}

$$

である。すると

$$ \begin{aligned} F-\frac85 &=\frac{5(5s^2+6s+5)+8(5s+3)}{-5(5s+3)}\\ &=\frac{25s^2+70s+49}{-5(5s+3)}\\ &=\frac{(5s+7)^2}{-5(5s+3)} \end{aligned}

$$

である。分母は正なので、

$$ F\geqq \frac85

$$

であり、等号は

$$ s=-\frac75

$$

のときに成り立つ。このとき

$$ t=\frac{1-\left(-\frac75\right)}{5\left(-\frac75\right)+3} =\frac{\frac{12}{5}}{-4} =-\frac35

$$

であるから、

$$ k=\frac{s+2t+1}{3} =\frac{-\frac75-\frac65+1}{3} =-\frac{8}{15}

$$

である。

以上より、面積 $F$ の最小値は $\frac85$ であり、そのときの $k$ は

$$ k=\pm\frac{8}{15}

$$

である。

解説

この問題では、直線 $\ell$ の方向ベクトル $\vec u$ が $\vec a,\vec b$ でどう表されるかを最初に押さえることが重要である。これにより、点 $P,Q$ の位置を $s,t$ で具体的に扱える。

直角条件は内積、交点条件は行列式、面積も行列式で処理する。特に

$$ F=|1+s+2t|=3|k|

$$

となる点が重要である。これにより、面積の最小化が $k$ の絶対値の最小化に帰着される。

最後の最小化では、直角条件から $t$ を $s$ で表し、$s>-\frac35$ と $s<-\frac35$ に分ける。分母の符号が変わるため、この場合分けを省くと符号処理を誤りやすい。

答え

**(1)**

$$ \vec u=\vec a+2\vec b

$$

**(2)**

$$ 5st+s+3t-1=0

$$

**(3)**

$$ k=\frac{s+2t+1}{3}

$$

**(4)**

$$ k=\pm\frac{8}{15}

$$