解説

方針・初手

点 $B$ を基準にして、各点の位置ベクトルを $\overrightarrow{BA}=\vec a,\ \overrightarrow{BC}=\vec c$ で表す。重心は3頂点の位置ベクトルの平均で表せるので、まず $\overrightarrow{BG}$ を求める。

その後、点 $P$ と点 $G$ を通る直線上の点をパラメータで表し、それが直線 $BC$ 上にある条件から $\overrightarrow{BQ}$ を決める。

解法1

点 $B$ を始点として考えると、

$$ \overrightarrow{BA}=\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec c

$$

である。したがって、点 $A,C$ の位置ベクトルはそれぞれ $\vec a,\vec c$ であり、点 $B$ の位置ベクトルは $\vec 0$ である。

重心 $G$ の位置ベクトルは3頂点の位置ベクトルの平均だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BG} &= \frac{\vec 0+\vec a+\vec c}{3}\\ &= \frac{\vec a+\vec c}{3} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec c

$$

となる。

次に、点 $P$ は辺 $AB$ 上にあり、$BP:PA=2:3$ である。したがって、$P$ は $B$ から $A$ へ向かって全体の $\dfrac25$ 進んだ点であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BP} &= \frac{2}{5}\overrightarrow{BA}\\ &= \frac{2}{5}\vec a \end{aligned} $$

である。

直線 $PG$ 上の点は、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{BX} = \overrightarrow{BP} + t\left(\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BP}\right)

$$

と表せる。ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BP} &= \frac{\vec a+\vec c}{3}-\frac{2}{5}\vec a\\ &= \frac{5\vec a+5\vec c-6\vec a}{15}\\ &= \frac{-\vec a+5\vec c}{15} \end{aligned} $$

である。

よって、直線 $PG$ 上の点 $X$ は

$$ \overrightarrow{BX} = \frac{2}{5}\vec a + t\cdot \frac{-\vec a+5\vec c}{15}

$$

と表される。

点 $Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{BQ}=s\vec c

$$

と表せる。したがって、直線 $PG$ 上の表現と比較して、

$$ s\vec c = \frac{2}{5}\vec a + t\cdot \frac{-\vec a+5\vec c}{15}

$$

となる。

右辺を $\vec a,\vec c$ の係数で整理すると、

$$ s\vec c = \left(\frac25-\frac{t}{15}\right)\vec a + \frac{t}{3}\vec c

$$

である。左辺には $\vec a$ 成分がないので、

$$ \frac25-\frac{t}{15}=0

$$

より、

$$ t=6

$$

である。このとき $\vec c$ の係数は

$$ s=\frac{t}{3}=2

$$

となる。

よって、

$$ \overrightarrow{BQ}=2\vec c

$$

である。

解説

この問題では、点 $B$ を基準にして位置ベクトルを置くと計算が単純になる。特に、$\overrightarrow{BA}=\vec a,\ \overrightarrow{BC}=\vec c$ と与えられているため、点 $B$ を原点のように扱うのが自然である。

重心 $G$ は位置ベクトルの平均で求まる。また、点 $P$ は $BP:PA=2:3$ より、$B$ から $A$ に向かって $\dfrac25$ の位置にある。あとは直線 $PG$ 上の点が直線 $BC$ 上にもある、という条件を使って係数比較すればよい。

なお、$\overrightarrow{BQ}=2\vec c$ なので、点 $Q$ は線分 $BC$ 上ではなく、$C$ を越えた直線 $BC$ 上の点である。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\vec a+\frac{1}{3}\vec c

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{BQ} = 2\vec c

$$