解説

方針・初手

点 $C$ が辺 $AB$ を $2:3$ に内分するので、まず $\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ で表す。

その後、$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$ を用いて内積を計算する。また、点 $D$ は直線 $OA$ 上にあるので、$\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OA}$ とおき、直線 $BD$ と直線 $OC$ が垂直である条件を内積 $0$ で表す。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。

条件より、

$$ |\mathbf{a}|=4,\quad |\mathbf{b}|=2,\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4

$$

である。したがって、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=16,\quad \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}=4

$$

である。

点 $C$ は辺 $AB$ を $AC:CB=2:3$ に内分するから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC} &= \frac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{5}\\ &= \frac{3\mathbf{a}+2\mathbf{b}}{5} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} &= \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\\ &= \mathbf{a}-\mathbf{b} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BA} &= \frac{3\mathbf{a}+2\mathbf{b}}{5}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})\\ &= \frac{1}{5}{3\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}-3\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} +2\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}}\\ &= \frac{1}{5}(3\cdot16-3\cdot4+2\cdot4-2\cdot4)\\ &= \frac{1}{5}(48-12+8-8)\\ &= \frac{36}{5} \end{aligned}

$$

したがって、③は

$$ \frac{36}{5}

$$

である。

次に、点 $D$ は直線 $OA$ 上にあり、

$$ \overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OA}=k\mathbf{a}

$$

である。

点 $B$ を通り直線 $OC$ に垂直な直線上に $D$ があるので、$\overrightarrow{BD}$ は $\overrightarrow{OC}$ に垂直である。したがって、

$$ \overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{OC}=0

$$

が成り立つ。

ここで、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}\\ &= k\mathbf{a}-\mathbf{b} \end{aligned} $$

であるから、

$$ (k\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot\frac{3\mathbf{a}+2\mathbf{b}}{5}=0

$$

となる。両辺を $5$ 倍して、

$$ (k\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})=0

$$

である。これを展開すると、

$$ \begin{aligned} 0 &= k\mathbf{a}\cdot(3\mathbf{a}+2\mathbf{b}) -\mathbf{b}\cdot(3\mathbf{a}+2\mathbf{b})\\ &= k(3\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) -(3\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})\\ &= k(3\cdot16+2\cdot4)-(3\cdot4+2\cdot4)\\ &= 56k-20 \end{aligned}

$$

よって、

$$ 56k=20

$$

より、

$$ k=\frac{5}{14}

$$

である。

解説

この問題では、内分点の位置ベクトルを正しく立てることが重要である。$AC:CB=2:3$ のとき、点 $C$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OC} = \frac{3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}}{5}

$$

となる。係数が逆になるため、ここを取り違えると以後の答えがすべて変わる。

また、垂直条件はベクトルの内積が $0$ であることを使う。点 $D$ が直線 $OA$ 上にあるため、$\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OA}$ とおける点がこの問題の処理を簡単にしている。

答え

③

$$ \frac{36}{5}

$$

④

$$ \frac{5}{14}

$$