基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題110 解説
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解説
方針・初手
$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ をそれぞれベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ とおく。
与えられた条件はベクトルの長さに関する等式なので、両辺を2乗して内積で表す。特に、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ と $|\mathbf{b}|^2$ を未知数として連立方程式を立てるのが自然である。
解法1
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。このとき、条件より
$$ |\mathbf{a}|=1
$$
である。
また、
$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|=1
$$
より、両辺を2乗して
$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=1
$$
となる。左辺を内積で展開すると
$$ |\mathbf{a}|^2+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1
$$
である。$|\mathbf{a}|=1$ だから、
$$ 1+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1
$$
となり、
$$ 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=0
$$
を得る。
次に、
$$ |2\mathbf{a}+\mathbf{b}|=1
$$
より、同様に両辺を2乗すると
$$ |2\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=1
$$
である。左辺を展開して
$$ 4|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1
$$
となる。$|\mathbf{a}|=1$ より、
$$ 4+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=1
$$
すなわち
$$ 4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2=-3
$$
を得る。
ここで
$$ x=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b},\qquad y=|\mathbf{b}|^2
$$
とおくと、次の連立方程式になる。
$$ \begin{cases} 2x+y=0 \\ 4x+y=-3 \end{cases}
$$
下の式から上の式を引くと
$$ 2x=-3
$$
であるから、
$$ x=-\frac{3}{2}
$$
となる。したがって、
$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{3}{2}
$$
である。
また、$2x+y=0$ に $x=-\dfrac{3}{2}$ を代入すると
$$ 2\left(-\frac{3}{2}\right)+y=0
$$
より
$$ y=3
$$
である。したがって、
$$ |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}
$$
となる。
次に、三角形 $OAB$ の面積を求める。2つのベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b}$ が作る三角形の面積 $S$ は
$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2}
$$
である。
ここに
$$ |\mathbf{a}|^2=1,\qquad |\mathbf{b}|^2=3,\qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-\frac{3}{2}
$$
を代入すると、
$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{1\cdot 3-\left(-\frac{3}{2}\right)^2}
$$
となる。
よって
$$ S=\frac{1}{2}\sqrt{3-\frac{9}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{4}
$$
である。
解説
この問題では、ベクトルの長さの条件をそのまま扱うより、2乗して内積に直すことが重要である。
特に
$$ |\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2
$$
と
$$ |2\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2=4|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2
$$
を使えば、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ と $|\mathbf{b}|^2$ に関する連立方程式に帰着できる。
面積については、角度を直接求めなくても
$$ |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2
$$
を使えば計算できる。これは、$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$ の2乗を内積で表したものである。
答え
$$ \text{ア}=-\frac{3}{2}
$$
$$ \text{イ}=\sqrt{3}
$$
$$ \text{ウ}=\frac{\sqrt{3}}{4}
$$