解説

方針・初手

辺 $AB$ の中点 $M$ を基準にすると、$\overrightarrow{MA}$ と $\overrightarrow{MB}$ が互いに反対向きで長さ $1$ のベクトルになる。

また、重心 $G$ は中線 $PM$ 上にあり、

$$ PG:GM=2:1

$$

であるから、

$$ MG=\frac{1}{3}PM

$$

を使うのが自然である。

解法1

$\overrightarrow{PM}=\mathbf{u}$、$\overrightarrow{MA}=\mathbf{e}$ とおく。

$M$ は $AB$ の中点で、$|AB|=2$ であるから、

$$ |\mathbf{e}|=1,\qquad \overrightarrow{MB}=-\mathbf{e}

$$

である。

まず、

$$ \overrightarrow{PA} =\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA} =\mathbf{u}+\mathbf{e}

$$

また、

$$ \overrightarrow{PB} =\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB} =\mathbf{u}-\mathbf{e}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} &=(\mathbf{u}+\mathbf{e})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{e})\\ &=|\mathbf{u}|^2-|\mathbf{e}|^2\\ &=|\overrightarrow{PM}|^2-1 \end{aligned}

$$

となる。よって、

$$ |\overrightarrow{PM}|^2 =\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+1

$$

である。

次に、重心 $G$ について考える。重心は中線 $PM$ を $PG:GM=2:1$ に内分するので、

$$ \overrightarrow{GM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PM} =\frac{1}{3}\mathbf{u}

$$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{GA} =\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA} =\frac{1}{3}\mathbf{u}+\mathbf{e}

$$

また、

$$ \overrightarrow{GB} =\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB} =\frac{1}{3}\mathbf{u}-\mathbf{e}

$$

である。

$\angle AGB=\dfrac{\pi}{2}$ のとき、

$$ \overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GB}=0

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} 0 &=\left(\frac{1}{3}\mathbf{u}+\mathbf{e}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\mathbf{u}-\mathbf{e}\right)\\ &=\frac{1}{9}|\mathbf{u}|^2-|\mathbf{e}|^2\\ &=\frac{1}{9}|\overrightarrow{PM}|^2-1 \end{aligned}

$$

となる。よって、

$$ |\overrightarrow{PM}|^2=9

$$

である。

(1) の結果より、

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =|\overrightarrow{PM}|^2-1 =9-1 =8

$$

である。

最後に、$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{5}{4}$ とする。

(1) より、

$$ |\overrightarrow{PM}|^2 =\frac{5}{4}+1 =\frac{9}{4}

$$

であるから、

$$ PM=\frac{3}{2}

$$

である。

重心 $G$ は $MG=\dfrac{1}{3}PM$ を満たすので、

$$ MG=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2} =\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、$G$ は中心 $M$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周上を動く。

一方、$A,M,B$ は一直線上にあり、$M$ は $AB$ の中点だから、

$$ BM=1

$$

である。また、$\angle ABG$ は、点 $B$ から見た直線 $BA$ と直線 $BG$ のなす角である。直線 $BA$ は直線 $BM$ と同じ向きなので、

$$ \angle ABG=\angle MBG

$$

とみなせる。

点 $B$ から、中心 $M$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円を見るとき、$\angle MBG$ が最大になるのは、$BG$ がこの円に接するときである。

接点を $T$ とすると、半径と接線は垂直だから、

$$ MT\perp BT

$$

である。よって、直角三角形 $BMT$ において、

$$ BM=1,\qquad MT=\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、

$$ \sin\angle MBT =\frac{MT}{BM} =\frac{1}{2}

$$

より、

$$ \angle MBT=\frac{\pi}{6}

$$

である。

したがって、

$$ \angle ABG

$$

の最大値は

$$ \frac{\pi}{6}

$$

である。

解説

この問題では、中点 $M$ を基準にすることで計算が大きく簡単になる。

特に、

$$ \overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MA},\qquad \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MB}

$$

と表すと、$\overrightarrow{MA}$ と $\overrightarrow{MB}$ が反対向きであることから、内積がすぐに整理できる。

また、重心 $G$ は中線 $PM$ 上にあり、

$$ MG=\frac{1}{3}PM

$$

となる。この関係を使うことで、(3) では $P$ の軌跡を直接追うのではなく、$G$ の軌跡を円として考えられる。

(3) の最大角は、円を点 $B$ から見込む角として処理する。最大になるのは接線を引いたときである、という図形的な見方が重要である。

答え

**(1)**

$$ |\overrightarrow{PM}|^2 = \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+1

$$

**(2)**

$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=8

$$

**(3)**

$$ \angle ABG \text{ の最大値 }=\frac{\pi}{6}

$$