解説

方針・初手

平行四辺形では、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ を基底にして各点を表すとよい。交点 $P$ を線分 $CE$ 上と線分 $FG$ 上の2通りに表し、係数比較で $P$ の位置を求める。その後、直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点 $Q$ を求めれば、$AP:PQ$ が分かる。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{AD}=\mathbf{d}$ とし、点 $A$ を原点とする。

このとき

$$ B=\mathbf{b},\quad D=\mathbf{d},\quad C=\mathbf{b}+\mathbf{d}

$$

である。

$E$ は $AB$ の中点なので、

$$ E=\frac{1}{2}\mathbf{b}

$$

である。また、$F$ は $BC$ を $2:1$ に内分するから、$BF:FC=2:1$ より

$$ F=B+\frac{2}{3}(C-B) =\mathbf{b}+\frac{2}{3}\mathbf{d}

$$

である。

同様に、$G$ は $CD$ を $3:1$ に内分するから、$CG:GD=3:1$ より

$$ G=C+\frac{3}{4}(D-C) =\mathbf{b}+\mathbf{d}+\frac{3}{4}(-\mathbf{b}) =\frac{1}{4}\mathbf{b}+\mathbf{d}

$$

である。

次に、$P$ は線分 $CE$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$ P=C+t(E-C)

$$

と表せる。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} P &=\mathbf{b}+\mathbf{d}+t\left(\frac{1}{2}\mathbf{b}-(\mathbf{b}+\mathbf{d})\right) \\ &=\left(1-\frac{t}{2}\right)\mathbf{b}+(1-t)\mathbf{d} \end{aligned}

$$

である。

また、$P$ は線分 $FG$ 上にもあるので、実数 $s$ を用いて

$$ P=F+s(G-F)

$$

と表せる。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} P &=\mathbf{b}+\frac{2}{3}\mathbf{d} +s\left(\frac{1}{4}\mathbf{b}+\mathbf{d}-\mathbf{b}-\frac{2}{3}\mathbf{d}\right) \\ &=\left(1-\frac{3s}{4}\right)\mathbf{b} +\left(\frac{2}{3}+\frac{s}{3}\right)\mathbf{d} \end{aligned}

$$

である。

$\mathbf{b},\mathbf{d}$ は独立なので、係数を比較して

$$ 1-\frac{t}{2}=1-\frac{3s}{4},\quad 1-t=\frac{2}{3}+\frac{s}{3}

$$

を得る。

第1式から

$$ t=\frac{3}{2}s

$$

である。これを第2式に代入すると、

$$ 1-\frac{3}{2}s=\frac{2}{3}+\frac{s}{3}

$$

より、

$$ \frac{1}{3}=\frac{11}{6}s

$$

したがって

$$ s=\frac{2}{11},\quad t=\frac{3}{11}

$$

である。

よって

$$ P=\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{11}\right)\mathbf{b} +\left(1-\frac{3}{11}\right)\mathbf{d} =\frac{19}{22}\mathbf{b}+\frac{8}{11}\mathbf{d}

$$

となる。

次に、直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点を $Q$ とする。$A$ は原点なので、直線 $AP$ 上の点は

$$ \lambda P

$$

と表せる。

一方、$Q$ は辺 $BC$ 上にあるから、ある実数 $u$ を用いて

$$ Q=\mathbf{b}+u\mathbf{d}

$$

と表せる。

$Q$ は直線 $AP$ 上にもあるので、

$$ Q=\lambda P =\lambda\left(\frac{19}{22}\mathbf{b}+\frac{8}{11}\mathbf{d}\right)

$$

である。$\mathbf{b}$ の係数を比較すると、

$$ \lambda\cdot\frac{19}{22}=1

$$

より、

$$ \lambda=\frac{22}{19}

$$

である。

したがって、$P$ は直線 $AQ$ 上で $A$ から見て $\lambda=1$ の位置、$Q$ は $\lambda=\frac{22}{19}$ の位置にある。よって

$$ AP:PQ =1:\left(\frac{22}{19}-1\right) =1:\frac{3}{19} =19:3

$$

である。

解説

この問題では、平行四辺形の具体的な形は本質的ではない。したがって、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ を基底にして、すべての点を一次結合で表すのが最も処理しやすい。

交点 $P$ を求める場面では、線分 $CE$ 上の表し方と線分 $FG$ 上の表し方を等置する。ここで、$\mathbf{b},\mathbf{d}$ の係数を比較できるのは、$\mathbf{b},\mathbf{d}$ が平行でなく独立だからである。

最後の比 $AP:PQ$ は、長さを直接求める必要はない。直線 $AP$ 上で $P$ を基準の位置 $\lambda=1$ と見れば、$Q$ が $\lambda=\frac{22}{19}$ の位置にあることから、比はすぐに求まる。

答え

$$ AP:PQ=19:3

$$