基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題115 解説
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解説
方針・初手
垂線の足 $H$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA}=\vec a$ と $\overrightarrow{OB}=\vec b$ の一次結合で表す。さらに $OH \perp AB$ より、
$$ \overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AB}=0
$$
を用いて係数を決める。
解法1
まず、$AB=4$ より
$$ |\vec b-\vec a|^2=16
$$
である。一方、$|\vec a|=2,\ |\vec b|=3$ だから、
$$ |\vec b-\vec a|^2=|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b+|\vec a|^2
$$
より、
$$ 16=9-2\vec a\cdot\vec b+4
$$
したがって、
$$ \vec a\cdot\vec b=-\frac{3}{2}
$$
である。
次に、$H$ は辺 $AB$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{OH}=(1-t)\vec a+t\vec b
$$
とおける。
また、$OH$ は $AB$ に垂直なので、
$$ \overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=0
$$
が成り立つ。ここに $\overrightarrow{OH}=(1-t)\vec a+t\vec b$ を代入すると、
$$ {(1-t)\vec a+t\vec b}\cdot(\vec b-\vec a)=0
$$
である。
ここで、
$$ \vec a\cdot(\vec b-\vec a)=\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2=-\frac{3}{2}-4=-\frac{11}{2}
$$
また、
$$ \vec b\cdot(\vec b-\vec a)=|\vec b|^2-\vec a\cdot\vec b=9+\frac{3}{2}=\frac{21}{2}
$$
である。よって、
$$ (1-t)\left(-\frac{11}{2}\right)+t\left(\frac{21}{2}\right)=0
$$
となる。両辺を $2$ 倍して整理すると、
$$ -11+32t=0
$$
したがって、
$$ t=\frac{11}{32}
$$
である。
ゆえに、
$$ \overrightarrow{OH} =\left(1-\frac{11}{32}\right)\vec a+\frac{11}{32}\vec b =\frac{21}{32}\vec a+\frac{11}{32}\vec b
$$
となる。
解説
この問題では、垂線の足 $H$ が直線 $AB$ 上にあることから、まず $\overrightarrow{OH}$ を $\vec a,\vec b$ の一次結合で置くのが自然である。
係数を決める条件は、$OH \perp AB$ である。したがって、$\overrightarrow{OH}$ と $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ の内積が $0$ になることを利用する。
また、$\vec a\cdot\vec b$ は直接与えられていないため、辺の長さ $AB=4$ から
$$ |\vec b-\vec a|^2
$$
を展開して求める必要がある。この処理が本問の基本となる。
答え
$$ \overrightarrow{OH}=\frac{21}{32}\vec a+\frac{11}{32}\vec b
$$