基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題116 解説
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解説
方針・初手
与えられた $|\vec{a}-2\vec{b}|$ を2乗し、内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を含む形に展開する。
面積は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ として、
$$ S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta
$$
を用いればよい。
解法1
まず、
$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2=(\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}-2\vec{b})
$$
であるから、
$$ |\vec{a}-2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2
$$
となる。
条件より $|\vec{a}|=3,\ |\vec{b}|=2,\ |\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{7}$ なので、
$$ 7=3^2-4\vec{a}\cdot\vec{b}+4\cdot 2^2
$$
すなわち、
$$ 7=9-4\vec{a}\cdot\vec{b}+16
$$
である。よって、
$$ 4\vec{a}\cdot\vec{b}=18
$$
したがって、
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2}
$$
である。
次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とする。
内積の定義より、
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
だから、
$$ \frac{9}{2}=3\cdot 2\cos\theta
$$
より、
$$ \cos\theta=\frac{3}{4}
$$
である。
したがって、
$$ \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} =\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2} =\frac{\sqrt{7}}{4}
$$
となる。
三角形 OAB の面積を $S$ とすると、
$$ S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta
$$
であるから、
$$ S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{7}}{4} =\frac{3\sqrt{7}}{4}
$$
である。
解説
この問題では、$|\vec{a}-2\vec{b}|$ という条件をそのまま扱うのではなく、2乗して内積の式に展開することが重要である。
特に、
$$ |\vec{x}|^2=\vec{x}\cdot\vec{x}
$$
を用いると、ベクトルの長さの条件から内積を求められる。
また、面積はベクトルのなす角を用いて
$$ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta
$$
と表せるため、内積から $\cos\theta$ を求め、そこから $\sin\theta$ を出せばよい。
答え
**(1)**
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{9}{2}
$$
**(2)**
$$ \frac{3\sqrt{7}}{4}
$$