解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置をすべて $A$ を始点とするベクトルで表す。特に、$R$ は直線 $PQ$ 上にも直線 $BC$ 上にもあるので、2通りに $\overrightarrow{AR}$ を表して係数を比較する。

解法1

$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$ とおく。

$P$ は $AB$ を $2:1$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\mathbf{b}

$$

である。

また、$Q$ は $AC$ を $3:1$ に外分する点である。つまり $AQ:QC=3:1$ であり、$Q$ は $C$ の外側にある。よって

$$ AQ=AC+CQ,\qquad AQ:QC=3:1

$$

より、

$$ AC=2QC

$$

だから

$$ AQ=\frac{3}{2}AC

$$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{AQ}=\frac{3}{2}\mathbf{c}

$$

である。

次に $\overrightarrow{AR}$ を求める。$R$ は直線 $BC$ 上にあるので、ある実数 $s$ を用いて

$$ \overrightarrow{AR}=(1-s)\mathbf{b}+s\mathbf{c}

$$

と表せる。

一方、$R$ は直線 $PQ$ 上にもあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{AR}=(1-t)\overrightarrow{AP}+t\overrightarrow{AQ}

$$

と表せる。これに $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\mathbf{b},\ \overrightarrow{AQ}=\frac{3}{2}\mathbf{c}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{AR}=\frac{2}{3}(1-t)\mathbf{b}+\frac{3}{2}t\mathbf{c}

$$

である。

したがって、

$$ (1-s)\mathbf{b}+s\mathbf{c} = \frac{2}{3}(1-t)\mathbf{b}+\frac{3}{2}t\mathbf{c}

$$

となる。$\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立なので係数を比較して、

$$ \begin{cases} 1-s=\frac{2}{3}(1-t) \\ s=\frac{3}{2}t \end{cases}

$$

を得る。第2式を第1式に代入すると、

$$ 1-\frac{3}{2}t=\frac{2}{3}(1-t)

$$

である。両辺を $6$ 倍して、

$$ 6-9t=4-4t

$$

より、

$$ t=\frac{2}{5}

$$

である。よって

$$ s=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{5}

$$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{AR} = \left(1-\frac{3}{5}\right)\mathbf{b} + \frac{3}{5}\mathbf{c} = \frac{2}{5}\mathbf{b}+\frac{3}{5}\mathbf{c}

$$

である。すなわち、

$$ \overrightarrow{AR} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}

$$

である。

次に、三角形 $CQR$ の面積を求める。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CQ} &= \overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AC}\\ &= \frac{3}{2}\mathbf{c}-\mathbf{c}\\ &= \frac{1}{2}\mathbf{c} \end{aligned} $$

また、

$$ \overrightarrow{CR} = \overrightarrow{AR}-\overrightarrow{AC}

\left(\frac{2}{5}\mathbf{b}+\frac{3}{5}\mathbf{c}\right)-\mathbf{c}

\frac{2}{5}\mathbf{b}-\frac{2}{5}\mathbf{c}

$$

である。

三角形の面積は、2本のベクトルがつくる平行四辺形の面積の半分であるから、

$$ [ CQR ] = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CQ}\times\overrightarrow{CR}\right|

$$

である。これに上の式を代入すると、

$$ \begin{aligned} [ CQR ] &= \frac{1}{2} \left| \frac{1}{2}\mathbf{c} \times \left(\frac{2}{5}\mathbf{b}-\frac{2}{5}\mathbf{c}\right) \right|\\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} \left| \mathbf{c}\times\mathbf{b} \right|\\ &= \frac{1}{10} \left| \mathbf{b}\times\mathbf{c} \right| \end{aligned}

$$

である。

一方、

$$ [ABC]=\frac{1}{2}\left|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right|

$$

だから、

$$ \frac{[CQR]}{[ABC]} = \frac{\frac{1}{10}\left|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right|} {\frac{1}{2}\left|\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right|} = \frac{1}{5}

$$

である。

解説

この問題では、外分点 $Q$ の位置を正しく読むことが重要である。$AC$ を $3:1$ に外分するので、$Q$ は $C$ の外側にあり、

$$ \overrightarrow{AQ}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}

$$

となる。

また、$R$ は $PQ$ と $BC$ の交点なので、$PQ$ 上の点としての表し方と、$BC$ 上の点としての表し方を一致させるのが基本方針である。面積比は、座標を置かなくても、ベクトルの外積の係数だけで処理できる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

$$

$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}

$$

$$ \overrightarrow{AR} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}

$$

**(2)**

$$ \frac{[CQR]}{[ABC]}=\frac{1}{5}

$$