解説

方針・初手

$O$ を基準点として、$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ を位置ベクトルとして扱う。

重心は各頂点の位置ベクトルの平均で表せる。内心は、各頂点の位置ベクトルに「向かい合う辺の長さ」を重みとして掛けた加重平均で表せる。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。このとき、点 $O$ の位置ベクトルは $\mathbf{0}$、点 $A$ の位置ベクトルは $\mathbf{a}$、点 $B$ の位置ベクトルは $\mathbf{b}$ である。

まず、三角形 $OAB$ の重心 $G$ は、3頂点の位置ベクトルの平均であるから、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{\mathbf{0}+\mathbf{a}+\mathbf{b}}{3}

$$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

である。

次に、内心 $I$ について考える。三角形の内心の位置ベクトルは、各頂点の位置ベクトルを、その頂点の向かい側の辺の長さで重みづけした加重平均で表される。

三角形 $OAB$ において、頂点 $O$ の向かい側の辺は $AB$、頂点 $A$ の向かい側の辺は $OB$、頂点 $B$ の向かい側の辺は $OA$ である。

よって、

$$ \overrightarrow{OI} = \frac{AB\cdot \mathbf{0}+OB\cdot \mathbf{a}+OA\cdot \mathbf{b}}{AB+OB+OA}

$$

である。条件より $OA=3,\ OB=4,\ AB=2$ だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OI} &= \frac{2\cdot \mathbf{0}+4\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{2+4+3}\\ &= \frac{4\mathbf{a}+3\mathbf{b}}{9} \end{aligned} $$

となる。したがって、

$$ \overrightarrow{OI} = \frac{4}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

である。

解説

重心は単純な平均で処理できるため、$O$ を原点とみなせばすぐに求まる。

内心は「角の二等分線の交点」という定義から考えることもできるが、位置ベクトルでは辺の長さを重みとする公式を使うのが最短である。注意すべき点は、頂点に掛ける重みが「その頂点から出る辺」ではなく、「その頂点の向かい側の辺の長さ」であることだ。

答え

$$ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$

$$ \overrightarrow{OI} = \frac{4}{9}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}

$$