解説

方針・初手

垂心 $H$ は、各頂点から対辺に下ろした垂線の交点である。したがって、$\overrightarrow{OH}$ を

$$ \overrightarrow{OH}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}

$$

とおき、$\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{OA}$ という条件を内積で表す。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ とおく。

条件より、

$$ |\mathbf{a}|=3,\quad |\mathbf{b}|=2,\quad \angle AOB=60^\circ

$$

であるから、

$$ \mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=9,\quad \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=4,\quad \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=3\cdot 2\cos60^\circ=3

$$

である。

いま、

$$ \overrightarrow{OH}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}

$$

とおく。

$H$ は垂心であるから、$AH$ は $OB$ に垂直である。よって、

$$ \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{OB}=0

$$

である。ここで、

$$ \overrightarrow{AH} =\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA} =x\mathbf{a}+y\mathbf{b}-\mathbf{a} =(x-1)\mathbf{a}+y\mathbf{b}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} {(x-1)\mathbf{a}+y\mathbf{b}}\cdot \mathbf{b}&=0\\ (x-1)(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+y(\mathbf{b}\cdot \mathbf{b})&=0\\ 3(x-1)+4y&=0 \end{aligned}

$$

となる。

また、$BH$ は $OA$ に垂直であるから、

$$ \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{OA}=0

$$

である。ここで、

$$ \overrightarrow{BH} =\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB} =x\mathbf{a}+y\mathbf{b}-\mathbf{b} =x\mathbf{a}+(y-1)\mathbf{b}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} {x\mathbf{a}+(y-1)\mathbf{b}}\cdot \mathbf{a}&=0\\ x(\mathbf{a}\cdot \mathbf{a})+(y-1)(\mathbf{b}\cdot \mathbf{a})&=0\\ 9x+3(y-1)&=0 \end{aligned}

$$

となる。したがって、

$$ \begin{cases} 3(x-1)+4y=0\\ 9x+3(y-1)=0 \end{cases}

$$

を解けばよい。

第2式より、

$$ 3x+y-1=0

$$

すなわち、

$$ y=1-3x

$$

である。これを第1式に代入すると、

$$ \begin{aligned} 3(x-1)+4(1-3x)&=0\\ 3x-3+4-12x&=0\\ 1-9x&=0 \end{aligned}

$$

より、

$$ x=\frac{1}{9}

$$

である。したがって、

$$ y=1-3\cdot \frac{1}{9} =\frac{2}{3}

$$

である。

よって、

$$ \overrightarrow{OH} =\frac{1}{9}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}

$$

である。

解説

垂心の問題では、「垂直」を内積 $0$ として処理するのが基本である。

この問題では $\overrightarrow{OH}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の一次結合としておき、垂線条件を2本立てれば係数が決まる。特に、$\overrightarrow{AH}$ や $\overrightarrow{BH}$ を直接扱うときは、始点が $A$ や $B$ であるため、

$$ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA},\quad \overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OB}

$$

と表す点が重要である。

答え

$$ \boxed{ \overrightarrow{OH} =\frac{1}{9}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB} }

$$