解説

方針・初手

$\vec a \perp \vec b$ であるから、内積計算では $\vec a\cdot \vec b=0$ が使える。

角 $\theta$ は $\vec a+\vec b$ と $\vec a+3\vec b$ のなす角であるため、まず余弦を内積で表し、そこから $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を計算する。

解法1

$x=|\vec a|,\ y=|\vec b|$ とする。$\vec a,\vec b$ は $0$ でないから、$x>0,\ y>0$ である。

$\vec a\perp\vec b$ より、

$$ \vec a\cdot \vec b=0

$$

である。したがって、

$$ |\vec a+\vec b|^2=x^2+y^2

$$

また、

$$ |\vec a+3\vec b|^2=x^2+9y^2

$$

である。

さらに、

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+3\vec b) =\vec a\cdot\vec a+3\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a+3\vec b\cdot\vec b =x^2+3y^2

$$

となる。

よって、なす角 $\theta$ について、

$$ \cos\theta = \frac{x^2+3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x^2+9y^2}}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \sin^2\theta &=1-\cos^2\theta\\ &=1-\frac{(x^2+3y^2)^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}\\ &=\frac{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)-(x^2+3y^2)^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}. \end{aligned}

$$

分子を計算すると、

$$ \begin{aligned} (x^2+y^2)(x^2+9y^2)-(x^2+3y^2)^2 &=(x^4+10x^2y^2+9y^4)-(x^4+6x^2y^2+9y^4)\\ &=4x^2y^2. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \sin^2\theta = \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}

$$

である。

次に $\theta$ の最大値を求める。

上で求めた式は $x,y$ の比だけで決まるので、

$$ t=\frac{x^2}{y^2}

$$

とおく。$x>0,\ y>0$ より $t>0$ である。このとき、

$$ \sin^2\theta = \frac{4t}{(t+1)(t+9)}

$$

となる。

これを

$$ f(t)=\frac{4t}{(t+1)(t+9)}

$$

とおく。分母を展開すると、

$$ f(t)=\frac{4t}{t^2+10t+9}

$$

である。微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(t) &=\frac{4(t^2+10t+9)-4t(2t+10)}{(t^2+10t+9)^2}\\ &=\frac{4(9-t^2)}{(t^2+10t+9)^2}. \end{aligned}

$$

したがって、$t>0$ において $f'(t)=0$ となるのは

$$ t=3

$$

のときである。

また、$0<t<3$ では $f'(t)>0$、$t>3$ では $f'(t)<0$ であるから、$t=3$ で最大となる。

このとき、

$$ \begin{aligned} \sin^2\theta &= \frac{4\cdot 3}{(3+1)(3+9)}\\ &= \frac{12}{48}\\ &= \frac14 \end{aligned} $$

である。

内積

$$ (\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+3\vec b)=x^2+3y^2

$$

は正であるから、$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ である。よって $\sin\theta$ は $\theta$ とともに増加する。

したがって、

$$ \sin\theta=\frac12

$$

となるとき $\theta$ は最大であり、

$$ \theta=\frac{\pi}{6}

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\vec a\perp\vec b$ によって内積の交差項が消えることにある。

$(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+3\vec b)$、$|\vec a+\vec b|^2$、$|\vec a+3\vec b|^2$ をそれぞれ計算すれば、$\cos\theta$ が得られる。その後は $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を使えばよい。

最大値の部分では、$\sin^2\theta$ が $x,y$ そのものではなく比 $\dfrac{x^2}{y^2}$ のみで決まることに気づくのが重要である。$t=\dfrac{x^2}{y^2}$ とおくと1変数関数の最大値問題になる。

答え

**(1)**

$$ \sin^2\theta = \frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)(x^2+9y^2)}

$$

**(2)**

$$ \theta_{\max}=\frac{\pi}{6}

$$