基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル」の問題125 解説
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解説
方針・初手
与えられたベクトル等式
$$ \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}
$$
から、まず $\vec{c}$ を $\vec{a},\vec{b}$ で表す。次に、その両辺の大きさを2乗して、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求める。
解法1
与えられた等式
$$ \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}
$$
より、
$$ 3\vec{c}= -\vec{a}-2\vec{b}
$$
である。したがって、
$$ \vec{c}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}
$$
となる。
ここで、$|\vec{c}|=6k$ であるから、両辺の大きさを2乗して
$$ |\vec{c}|^2=36k^2
$$
である。
一方、
$$ \vec{c}=-\frac{1}{3}(\vec{a}+2\vec{b})
$$
なので、
$$ |\vec{c}|^2=\frac{1}{9}|\vec{a}+2\vec{b}|^2
$$
である。よって、
$$ \frac{1}{9}|\vec{a}+2\vec{b}|^2=36k^2
$$
より、
$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=324k^2
$$
となる。
左辺を内積で展開すると、
$$ \begin{aligned} |\vec{a}+2\vec{b}|^2 &=(\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}+2\vec{b})\\ &=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2 \end{aligned}
$$
である。$|\vec{a}|=2,\ |\vec{b}|=3$ より、
$$ |\vec{a}|^2=4,\qquad |\vec{b}|^2=9
$$
だから、
$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=4+4\vec{a}\cdot\vec{b}+36
$$
すなわち、
$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=40+4\vec{a}\cdot\vec{b}
$$
である。
これが $324k^2$ に等しいので、
$$ 40+4\vec{a}\cdot\vec{b}=324k^2
$$
したがって、
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=81k^2-10
$$
となる。
次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
である。$|\vec{a}|=2,\ |\vec{b}|=3$ より、
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=6\cos\theta
$$
であるから、
$$ 6\cos\theta=81k^2-10
$$
よって、
$$ \cos\theta=\frac{81k^2-10}{6}
$$
となる。
したがって、$0\leqq \theta\leqq \pi$ より、
$$ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{81k^2-10}{6}\right)
$$
である。
なお、実際にこのようなベクトルが存在するためには
$$ -1\leqq \frac{81k^2-10}{6}\leqq 1
$$
でなければならない。これを解くと、
$$ -6\leqq 81k^2-10\leqq 6
$$
より、
$$ 4\leqq 81k^2\leqq 16
$$
である。$k>0$ だから、
$$ \frac{2}{9}\leqq k\leqq \frac{4}{9}
$$
である。
解説
この問題では、ベクトル等式から $\vec{c}$ を直接表し、その長さの条件を使って内積を求めるのが自然である。
重要なのは、ベクトルの大きさの条件をそのまま使うのではなく、2乗して内積の形に展開することである。特に、
$$ |\vec{a}+2\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+4\vec{a}\cdot\vec{b}+4|\vec{b}|^2
$$
という展開がこの問題の中心である。
また、なす角 $\theta$ は内積の公式
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
から求める。$\theta$ の範囲が $0\leqq \theta\leqq \pi$ と指定されているため、$\cos^{-1}$ を用いて一意に表せる。
答え
$$ \vec{c}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}
$$
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=81k^2-10
$$
$$ \theta=\cos^{-1}\left(\frac{81k^2-10}{6}\right)
$$
ただし、ベクトルが存在するためには
$$ \frac{2}{9}\leqq k\leqq \frac{4}{9}
$$
である。