解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を直接扱うより、

$$ \mathbf{u}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},\qquad \mathbf{v}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}

$$

とおくとよい。このとき

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{3}

$$

であるから、与えられた内積条件から $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ が求まる。

解法1

$\mathbf{u}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，$\mathbf{v}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$ とおく。

条件より

$$ |\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=1

$$

であり、また

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} =\frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{3}

$$

である。

与えられた条件

$$ (2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\frac{1}{3}

$$

は

$$ \mathbf{u}\cdot \frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{3}=\frac{1}{3}

$$

と書ける。したがって

$$ \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{3} =\frac{1}{3}

$$

である。ここで $|\mathbf{u}|=1$ より $\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1$ だから、

$$ \frac{1+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{3}=\frac{1}{3}

$$

となり、

$$ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0

$$

を得る。

よって (1) の値は

$$ (2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot (\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}) =\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0

$$

である。

次に (2) を考える。$\mathbf{u},\mathbf{v}$ は長さ $1$ で互いに垂直なので、平面上の任意の点 $P$ について

$$ \overrightarrow{OP}=x\mathbf{u}+y\mathbf{v}

$$

と表せる。

また

$$ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} =\frac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{3}

$$

であるから、条件

$$ \left|\overrightarrow{OP}-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\right|\leqq \frac{1}{3}

$$

は

$$ \left|(x-\frac{1}{3})\mathbf{u}+(y-\frac{1}{3})\mathbf{v}\right|\leqq \frac{1}{3}

$$

となる。$\mathbf{u},\mathbf{v}$ は正規直交基底なので、これは

$$ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2\leqq \frac{1}{9}

$$

である。

さらに

$$ \overrightarrow{OP}\cdot(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\leqq \frac{1}{3}

$$

は

$$ (x\mathbf{u}+y\mathbf{v})\cdot\mathbf{u}\leqq \frac{1}{3}

$$

であり、$\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=1,\ \mathbf{v}\cdot\mathbf{u}=0$ より

$$ x\leqq \frac{1}{3}

$$

となる。

したがって、点 $(x,y)$ は

$$ \left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2\leqq \frac{1}{9},\qquad x\leqq \frac{1}{3}

$$

を満たす。また

$$ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}

$$

である。

ここで計算を簡単にするため

$$ X=3x,\qquad Y=3y

$$

とおくと、条件は

$$ (X-1)^2+(Y-1)^2\leqq 1,\qquad X\leqq 1

$$

となり、

$$ |\overrightarrow{OP}|=\frac{1}{3}\sqrt{X^2+Y^2}

$$

である。

つまり、中心 $(1,1)$，半径 $1$ の円の内部のうち $X\leqq 1$ の部分で、原点からの距離 $\sqrt{X^2+Y^2}$ の最大値・最小値を求めればよい。

最小値については、原点から中心 $(1,1)$ までの距離は $\sqrt{2}$ であり、半径が $1$ だから、円周上で原点に最も近い点までの距離は

$$ \sqrt{2}-1

$$

である。この点は中心 $(1,1)$ から原点方向に半径 $1$ だけ進んだ点であり、その $X$ 座標は $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $X\leqq 1$ を満たす。

したがって

$$ |\overrightarrow{OP}|_{\min} =\frac{\sqrt{2}-1}{3}

$$

である。

最大値については、制限 $X\leqq 1$ があるため、円全体で原点から最も遠い点は使えない。円周上を

$$ X=1+\cos\theta,\qquad Y=1+\sin\theta

$$

とおくと、$X\leqq 1$ より

$$ \cos\theta\leqq 0

$$

である。

このとき

$$ X^2+Y^2 =(1+\cos\theta)^2+(1+\sin\theta)^2 =3+2(\cos\theta+\sin\theta)

$$

である。$\cos\theta\leqq 0$ の範囲で $\cos\theta+\sin\theta$ が最大になるのは

$$ \cos\theta=0,\qquad \sin\theta=1

$$

のときである。

したがって

$$ (X,Y)=(1,2)

$$

で最大となり、

$$ \sqrt{X^2+Y^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}

$$

である。

よって

$$ |\overrightarrow{OP}|_{\max} =\frac{\sqrt{5}}{3}

$$

である。

解説

この問題の中心は、

$$ 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB},\qquad \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}

$$

を新しいベクトルとして見ることである。与えられた条件から、この2つのベクトルはどちらも長さ $1$ で、さらに内積が $0$ になる。つまり、これらを直交座標軸として扱える。

**(2)**

では、条件を座標平面上の領域に置き換えると、中心 $(1,1)$，半径 $1$ の円の左半分で、原点からの距離の最大・最小を求める問題になる。ベクトルの問題に見えるが、実質的には円と半平面に関する距離の最大最小である。

答え

**(1)**

$$ 0

$$

**(2)**

$$ |\overrightarrow{OP}|_{\max}=\frac{\sqrt{5}}{3},\qquad |\overrightarrow{OP}|_{\min}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}

$$