解説

方針・初手

外心 $P$ は $PA=PB=PC$ を満たす点である。そこで、$\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$ とおき、$PA=PB,\ PA=PC$ から $x,y$ を求める。

また、内心 $I$ は三角形の辺の長さを用いた重み付き平均で表せるので、$\vec{AI}$ を求めてから $\vec{IP}$ の長さを計算する。

解法1

$\vec{AB}=\mathbf{b},\ \vec{AC}=\mathbf{c}$ とおく。条件より

$$ |\mathbf{b}|=2,\quad |\mathbf{c}|=3,\quad |\mathbf{c}-\mathbf{b}|=4

$$

である。したがって

$$ |\mathbf{c}-\mathbf{b}|^2=|\mathbf{c}|^2+|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}

$$

より

$$ 16=9+4-2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}

$$

であるから、

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=-\frac{3}{2}

$$

となる。

外心 $P$ について

$$ \vec{AP}=x\mathbf{b}+y\mathbf{c}

$$

とおく。$PA=PB$ より、$P$ は線分 $AB$ の垂直二等分線上にあるので

$$ |\vec{AP}|^2=|\vec{AP}-\mathbf{b}|^2

$$

である。これを整理すると

$$ 2\vec{AP}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{b}|^2

$$

となるから、

$$ \vec{AP}\cdot\mathbf{b}=2

$$

である。

同様に $PA=PC$ より

$$ \vec{AP}\cdot\mathbf{c}=\frac{|\mathbf{c}|^2}{2}=\frac{9}{2}

$$

である。

ここで $\vec{AP}=x\mathbf{b}+y\mathbf{c}$ を代入すると、

$$ (x\mathbf{b}+y\mathbf{c})\cdot\mathbf{b}=2

$$

より

$$ 4x-\frac{3}{2}y=2

$$

また、

$$ (x\mathbf{b}+y\mathbf{c})\cdot\mathbf{c}=\frac{9}{2}

$$

より

$$ -\frac{3}{2}x+9y=\frac{9}{2}

$$

である。これらを整理すると

$$ \begin{cases} 8x-3y=4 \\ -3x+18y=9 \end{cases}

$$

となる。

第1式から $3y=8x-4$ である。これを第2式に代入すると

$$ -3x+6(8x-4)=9

$$

より

$$ 45x=33

$$

したがって

$$ x=\frac{11}{15}

$$

である。また、

$$ 3y=8\cdot\frac{11}{15}-4=\frac{88}{15}-\frac{60}{15}=\frac{28}{15}

$$

より

$$ y=\frac{28}{45}

$$

である。よって

$$ \vec{AP}=\frac{11}{15}\vec{AB}+\frac{28}{45}\vec{AC}

$$

となる。

次に内心 $I$ を考える。辺の長さは

$$ BC=4,\quad CA=3,\quad AB=2

$$

であるから、内心の位置ベクトルは頂点 $A,B,C$ に対して、それぞれ向かい合う辺の長さ $4,3,2$ を重みとして

$$ \vec{AI}=\frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{4+3+2}

$$

と表せる。したがって

$$ \vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{9}\vec{AC}

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} \vec{IP} &=\vec{AP}-\vec{AI} \\ &=\left(\frac{11}{15}-\frac{1}{3}\right)\vec{AB} +\left(\frac{28}{45}-\frac{2}{9}\right)\vec{AC} \\ &=\frac{2}{5}\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC} \\ &=\frac{2}{5}(\vec{AB}+\vec{AC}) \end{aligned}

$$

である。

したがって

$$ IP^2=\left|\frac{2}{5}(\mathbf{b}+\mathbf{c})\right|^2

$$

であり、

$$ \begin{aligned} IP^2 &=\frac{4}{25}|\mathbf{b}+\mathbf{c}|^2 \\ &=\frac{4}{25}\left(|\mathbf{b}|^2+|\mathbf{c}|^2+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\right) \\ &=\frac{4}{25}\left(4+9+2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\right) \\ &=\frac{4}{25}\cdot 10 \\ &=\frac{8}{5} \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ IP=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}

$$

である。

解説

外心をベクトルで扱うときは、$PA=PB,\ PA=PC$ をそのまま距離の等式で処理するのが基本である。特に

$$ |\vec{AP}|^2=|\vec{AP}-\vec{AB}|^2

$$

から

$$ \vec{AP}\cdot\vec{AB}=\frac{|\vec{AB}|^2}{2}

$$

が出る形は典型である。

また、内心は辺の長さによる重み付き平均で表せる。頂点 $A,B,C$ の係数は、それぞれ向かい合う辺 $BC,CA,AB$ の長さになるため、本問では

$$ \vec{AI}=\frac{3\vec{AB}+2\vec{AC}}{9}

$$

となる。この係数の対応を逆にしないことが重要である。

答え

$$ \vec{AP}=\frac{11}{15}\vec{AB}+\frac{28}{45}\vec{AC}

$$

$$ IP=\frac{2\sqrt{10}}{5}

$$