基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル(斜交座標)」の問題1 解説
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解説
方針・初手
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ と表されるとき、$s,t$ は $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を基準にした座標である。
したがって、$s,t$ 平面上で条件を考え、その図形を三角形 $OAB$ のある平面に対応させればよい。
解法1
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ は三角形 $OAB$ をつくる2つの辺なので、互いに平行でない。よって、点 $P$ と組 $(s,t)$ は一対一に対応する。
(1)
条件は
$$ 3s+4t=2
$$
である。これは $s,t$ 平面上では直線を表す。
この直線と $s$ 軸、$t$ 軸との交点を調べる。
$t=0$ とすると、
$$ 3s=2
$$
より
$$ s=\frac{2}{3}
$$
である。したがって、このときの点を $C$ とすると、
$$ \overrightarrow{OC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}
$$
である。
また、$s=0$ とすると、
$$ 4t=2
$$
より
$$ t=\frac{1}{2}
$$
である。したがって、このときの点を $D$ とすると、
$$ \overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}
$$
である。
よって、条件 $3s+4t=2$ を満たす点 $P$ は、辺 $OA$ 上で $OC:CA=2:1$ となる点 $C$ と、辺 $OB$ 上で $OD:DB=1:1$ となる点 $D$ を通る直線上にある。
つまり、点 $P$ は直線 $CD$ 上にある。
(2)
点 $P$ が三角形 $OAB$ 内にある条件は
$$ s\geqq 0,\quad t\geqq 0,\quad s+t\leqq 1
$$
である。
さらに
$$ 3s+4t\geqq 2
$$
を満たす範囲を考える。
$s,t$ 平面で三角形 $OAB$ に対応するのは、頂点
$$ (0,0),\quad (1,0),\quad (0,1)
$$
をもつ三角形である。この三角形の中で、直線
$$ 3s+4t=2
$$
は、点
$$ \left(\frac{2}{3},0\right),\quad \left(0,\frac{1}{2}\right)
$$
を通る。
不等式 $3s+4t\geqq 2$ は、原点 $(0,0)$ を含まない側を表す。したがって、三角形全体から、頂点
$$ (0,0),\quad \left(\frac{2}{3},0\right),\quad \left(0,\frac{1}{2}\right)
$$
をもつ小三角形を除いた部分が求める範囲である。
$s,t$ 平面における大きい三角形の面積は
$$ \frac{1}{2}
$$
であり、除かれる小三角形の面積は
$$ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}
$$
である。
したがって、残る部分の面積は
$$ \frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}
$$
である。
大きい三角形に対する面積比は
$$ \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}
$$
である。
$s,t$ 平面での面積比は、実際の平面上の三角形 $OAB$ でも保たれる。三角形 $OAB$ の面積は $S$ であるから、求める面積は
$$ \frac{2}{3}S
$$
である。
解説
この問題では、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ を、平面上の点 $P$ の座標表示として扱うことが重要である。
三角形 $OAB$ 内にある条件は、係数 $s,t$ を用いて
$$ s\geqq 0,\quad t\geqq 0,\quad s+t\leqq 1
$$
と表せる。ここを正しく立てると、あとは $s,t$ 平面上で三角形を直線 $3s+4t=2$ によって切るだけでよい。
また、境界を含むかどうかは面積に影響しないため、面積計算では不等号の等号の有無を気にしなくてよい。
答え
**(1)**
点 $P$ は、$\overrightarrow{OC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OA}$ を満たす点 $C$ と、$\overrightarrow{OD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ を満たす点 $D$ を通る直線 $CD$ 上にある。
**(2)**
$$ \frac{2}{3}S
$$