解説

方針・初手

点 $C$ の位置ベクトルが与えられているので、まず $\overrightarrow{BC}$ を $\vec a,\vec b$ で表す。

その後、$\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{OQ}$ を求め、中点 $M$ の位置ベクトルを $t,s$ で表す。最後に、$0\leq t\leq 1,\ 0\leq s\leq 1$ から係数の範囲を求める。

解法1

$\overrightarrow{OC}=2\vec a+3\vec b,\ \overrightarrow{OB}=\vec b$ より、

$$ \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} =2\vec a+3\vec b-\vec b =2\vec a+2\vec b

$$

である。

**(1)**

$\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}$ より、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP} \\ &=\vec b+t(2\vec a+2\vec b) \\ &=2t\vec a+(2t+1)\vec b \end{aligned}

$$

したがって、$\overrightarrow{OP}=u\vec a+v\vec b$ と表すと、

$$ u=2t,\qquad v=2t+1

$$

である。

**(2)**

$\overrightarrow{OQ}=2s\overrightarrow{OA}=2s\vec a$ であり、$M$ は $P,Q$ の中点だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OM} &=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(2t\vec a+(2t+1)\vec b+2s\vec a\right) \\ &=(t+s)\vec a+\left(t+\frac{1}{2}\right)\vec b \end{aligned}

$$

ここで、

$$ \overrightarrow{OM}=x\vec a+y\vec b

$$

とおく。$O,A,B$ は一直線上にないので、$\vec a,\vec b$ は一次独立であり、係数 $x,y$ は一意に定まる。

上の式から、

$$ x=t+s,\qquad y=t+\frac{1}{2}

$$

である。よって、

$$ t=y-\frac{1}{2},\qquad s=x-y+\frac{1}{2}

$$

となる。

条件 $0\leq t\leq 1$ より、

$$ 0\leq y-\frac{1}{2}\leq 1

$$

すなわち、

$$ \frac{1}{2}\leq y\leq \frac{3}{2}

$$

である。

また、条件 $0\leq s\leq 1$ より、

$$ 0\leq x-y+\frac{1}{2}\leq 1

$$

すなわち、

$$ y-\frac{1}{2}\leq x\leq y+\frac{1}{2}

$$

である。

したがって、点 $M$ の存在する範囲は、

$$ \overrightarrow{OM}=x\vec a+y\vec b

$$

と表したとき、

$$ \frac{1}{2}\leq y\leq \frac{3}{2},\qquad y-\frac{1}{2}\leq x\leq y+\frac{1}{2}

$$

を満たす点全体である。

これは平行四辺形の周および内部であり、その頂点は

$$ \frac{1}{2}\vec b,\quad \vec a+\frac{3}{2}\vec b,\quad 2\vec a+\frac{3}{2}\vec b,\quad \vec a+\frac{1}{2}\vec b

$$

を位置ベクトルにもつ4点である。

解説

この問題では、点の位置をすべて $\vec a,\vec b$ の一次結合で表すことが重要である。

$O,A,B$ が一直線上にないため、$\vec a,\vec b$ は一次独立である。したがって、位置ベクトルを $x\vec a+y\vec b$ と表したとき、係数 $x,y$ の範囲を調べれば、点の存在範囲を正確に表せる。

特に、$t,s$ がそれぞれ $0$ から $1$ まで動くので、$M$ の位置ベクトルは

$$ \overrightarrow{OM} =\frac{1}{2}\vec b+t(\vec a+\vec b)+s\vec a

$$

と見れば、始点 $\frac{1}{2}\vec b$ から、方向 $\vec a+\vec b$ と方向 $\vec a$ にそれぞれ $0$ 以上 $1$ 以下だけ動いた範囲である。したがって、平行四辺形の周および内部になる。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{OP}=2t\vec a+(2t+1)\vec b

$$

したがって、

$$ u=2t,\qquad v=2t+1

$$

**(2)**

点 $M$ の存在する範囲は、

$$ \overrightarrow{OM}=x\vec a+y\vec b

$$

と表したとき、

$$ \frac{1}{2}\leq y\leq \frac{3}{2},\qquad y-\frac{1}{2}\leq x\leq y+\frac{1}{2}

$$

を満たす点全体である。

すなわち、位置ベクトルが

$$ \frac{1}{2}\vec b,\quad \vec a+\frac{3}{2}\vec b,\quad 2\vec a+\frac{3}{2}\vec b,\quad \vec a+\frac{1}{2}\vec b

$$

である4点を頂点とする平行四辺形の周および内部である。