基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面ベクトル(斜交座標)」の問題7 解説
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解説
方針・初手
$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ がそれぞれどの範囲を動くかを確認し、それらを新しい文字で置く。すると、点 $P$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ の一次結合として表されるので、係数の動く長方形を座標平面上へ写した領域を考えればよい。
解法1
$0\leq \alpha \leq \pi$ より、
$$ -1\leq \cos\alpha \leq 1
$$
である。また、$0\leq \beta \leq \pi$ より、
$$ 0\leq \sin\beta \leq 1
$$
である。
そこで、
$$ s=\cos\alpha,\qquad t=\sin\beta
$$
とおくと、
$$ -1\leq s\leq 1,\qquad 0\leq t\leq 1
$$
であり、
$$ \overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}
$$
となる。
いま、
$$ \overrightarrow{OA}=(-1,2),\qquad \overrightarrow{OB}=(2,1)
$$
であるから、
$$ (u,v)=s(-1,2)+t(2,1)
$$
である。よって、
$$ \begin{cases} u=-s+2t,\\ v=2s+t \end{cases}
$$
を得る。
この式から $s,t$ を $u,v$ で表す。連立方程式
$$ \begin{cases} u=-s+2t,\\ v=2s+t \end{cases}
$$
を解くと、
$$ s=\frac{-u+2v}{5},\qquad t=\frac{2u+v}{5}
$$
となる。
したがって、条件 $-1\leq s\leq 1,\ 0\leq t\leq 1$ は、
$$ -1\leq \frac{-u+2v}{5}\leq 1
$$
および
$$ 0\leq \frac{2u+v}{5}\leq 1
$$
と書ける。すなわち、
$$ -5\leq -u+2v\leq 5
$$
かつ
$$ 0\leq 2u+v\leq 5
$$
である。
よって、点 $P(u,v)$ の存在する領域は、直線
$$ -u+2v=-5,\quad -u+2v=5,\quad 2u+v=0,\quad 2u+v=5
$$
で囲まれる平行四辺形である。
頂点を求めるために、$(s,t)$ の長方形
$$ -1\leq s\leq 1,\qquad 0\leq t\leq 1
$$
の四隅を写す。
**(i)**
$s=-1,\ t=0$ のとき、
$$ (u,v)=(-1)(-1,2)+0(2,1)=(1,-2)
$$
**(ii)**
$s=1,\ t=0$ のとき、
$$ (u,v)=1(-1,2)+0(2,1)=(-1,2)
$$
**(iii)**
$s=1,\ t=1$ のとき、
$$ (u,v)=1(-1,2)+1(2,1)=(1,3)
$$
**(iv)**
$s=-1,\ t=1$ のとき、
$$ (u,v)=(-1)(-1,2)+1(2,1)=(3,-1)
$$
したがって、求める領域は、4点
$$ (1,-2),\quad (-1,2),\quad (1,3),\quad (3,-1)
$$
を頂点とする平行四辺形の周および内部である。
解説
この問題では、$\cos\alpha$ と $\sin\beta$ の動く範囲が異なる点に注意する。
$\cos\alpha$ は $0\leq\alpha\leq\pi$ で $[-1,1]$ 全体を動く。一方、$\sin\beta$ は $0\leq\beta\leq\pi$ で $[0,1]$ 全体を動く。したがって、係数の範囲は正方形ではなく、$s$ 方向に $[-1,1]$、$t$ 方向に $[0,1]$ をもつ長方形になる。
また、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は平行でないので、この長方形は $xy$ 平面上で平行四辺形に写される。境界線を不等式で表すなら、
$$ -5\leq -u+2v\leq 5,\qquad 0\leq 2u+v\leq 5
$$
である。
答え
点 $P(u,v)$ の存在する領域は、
$$ -5\leq -u+2v\leq 5,\qquad 0\leq 2u+v\leq 5
$$
を満たす領域である。
すなわち、4点
$$ (1,-2),\quad (-1,2),\quad (1,3),\quad (3,-1)
$$
を頂点とする平行四辺形の周および内部である。