基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面の位置ベクトル」の問題1 解説
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解説
方針・初手
条件式
$$ l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}+n\overrightarrow{PC}=\vec{0}
$$
は、点 $P$ が三角形 $ABC$ の重心座標
$$ P=\frac{lA+mB+nC}{l+m+n}
$$
で表されることを意味する。したがって、まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基準にして $\overrightarrow{AP}$ を表し、直線 $AP$ と直線 $BC$ の交点 $Q$ を求める。
解法1
$A$ を基準にして
$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{c}
$$
とおく。
条件式を位置ベクトルで書くと、
$$ l(A-P)+m(B-P)+n(C-P)=0
$$
より、
$$ (l+m+n)P=lA+mB+nC
$$
である。したがって、
$$ \overrightarrow{AP} =\frac{m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}}{l+m+n} =\frac{m\mathbf{b}+n\mathbf{c}}{l+m+n}
$$
となる。
点 $Q$ は直線 $AP$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{AQ}=t\overrightarrow{AP} =\frac{t}{l+m+n}(m\mathbf{b}+n\mathbf{c})
$$
と表せる。
一方、$Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、$\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数の和が $1$ である。よって
$$ \frac{tm}{l+m+n}+\frac{tn}{l+m+n}=1
$$
すなわち
$$ t=\frac{l+m+n}{m+n}
$$
である。したがって
$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m\mathbf{b}+n\mathbf{c}}{m+n}
$$
となる。元の記号に戻すと、
$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}}{m+n}
$$
である。
次に、三角形 $ABQ$ の面積を求める。上の式より
$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB} +\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AC}
$$
であるから、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AQ}$ がつくる面積は、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ がつくる面積の $\dfrac{n}{m+n}$ 倍である。
したがって、$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、
$$ [ABQ]=\frac{n}{m+n}S
$$
である。
最後に、面積比から $l:m:n$ を求める。
点 $P$ の重心座標は
$$ P=\frac{lA+mB+nC}{l+m+n}
$$
である。重心座標の係数は、それぞれ向かい合う小三角形の面積比に対応する。すなわち、
$$ [PBC]:[PCA]:[PAB]=l:m:n
$$
である。
問題では
$$ [PAB]:[PBC]:[PCA]=3:2:5
$$
であるから、順序をそろえると
$$ [PBC]:[PCA]:[PAB]=2:5:3
$$
である。よって
$$ l:m:n=2:5:3
$$
となる。
解説
この問題の中心は、条件式を重心座標として読むことである。
$$ l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}+n\overrightarrow{PC}=\vec{0}
$$
は、点 $P$ が $A,B,C$ を重み $l,m,n$ で平均した点であることを表す。したがって、$l,m,n$ はそれぞれ頂点 $A,B,C$ に対応する重心座標であり、面積比では向かい側の三角形
$$ [PBC],\quad [PCA],\quad [PAB]
$$
に対応する。
特に、$[PAB]$ は頂点 $C$ に対応するので係数は $n$、$[PBC]$ は頂点 $A$ に対応するので係数は $l$、$[PCA]$ は頂点 $B$ に対応するので係数は $m$ である。この対応順を取り違えないことが重要である。
答え
**(1)**
$$ \overrightarrow{AQ} =\frac{m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}}{m+n}
$$
**(2)**
$$ [ABQ]=\frac{n}{m+n}S
$$
**(3)**
$$ l:m:n=2:5:3
$$