基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面の位置ベクトル」の問題2 解説
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解説
方針・初手
与えられたベクトル方程式を、位置ベクトルを用いて点 $P$ の位置として表す。すると $P$ は $A,B,C$ を係数つきで表した形になり、その係数が三角形に対する重心座標になる。
解法1
点 $A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。
条件より、
$$ 3\overrightarrow{PA}+4\overrightarrow{PB}+5\overrightarrow{PC} = k\overrightarrow{BC}
$$
であるから、
$$ 3(\vec{a}-\vec{p})+4(\vec{b}-\vec{p})+5(\vec{c}-\vec{p}) = k(\vec{c}-\vec{b})
$$
となる。整理すると、
$$ 3\vec{a}+4\vec{b}+5\vec{c}-12\vec{p} = k\vec{c}-k\vec{b}
$$
である。よって、
$$ 12\vec{p} = 3\vec{a}+(4+k)\vec{b}+(5-k)\vec{c}
$$
となるので、
$$ \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4+k}{12}\vec{b} + \frac{5-k}{12}\vec{c}
$$
である。
ここで係数の和は
$$ \frac{1}{4}+\frac{4+k}{12}+\frac{5-k}{12} = \frac{3+4+k+5-k}{12} = 1
$$
である。したがって、これは点 $P$ の三角形 $ABC$ に関する重心座標を表している。
**(1)**
点 $P$ が辺 $AB$ 上にあるとき、$C$ の係数が $0$ であればよい。したがって、
$$ \frac{5-k}{12}=0
$$
より、
$$ k=5
$$
である。このとき
$$ \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}
$$
となり、確かに $P$ は辺 $AB$ 上にある。
**(2)**
点 $P$ が $\triangle ABC$ の内部にあるためには、重心座標の各係数がすべて正であればよい。
すなわち、
$$ \frac{1}{4}>0,\qquad \frac{4+k}{12}>0,\qquad \frac{5-k}{12}>0
$$
が必要十分である。
第一の不等式は常に成り立つ。残りの不等式から、
$$ 4+k>0
$$
より、
$$ k>-4
$$
また、
$$ 5-k>0
$$
より、
$$ k<5
$$
である。
したがって、点 $P$ が $\triangle ABC$ の内部にあるような $k$ の範囲は
$$ -4<k<5
$$
である。
解説
この問題では、与えられた式をそのまま図形的に処理するよりも、位置ベクトルで $P$ を表すのが自然である。
特に、
$$ \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{4+k}{12}\vec{b} + \frac{5-k}{12}\vec{c}
$$
の係数の和が $1$ になるため、これは三角形 $ABC$ に対する重心座標として読める。辺上にある条件は対応する頂点の係数が $0$、内部にある条件はすべての係数が正であることを使う。
答え
**(1)**
$$ k=5
$$
**(2)**
$$ -4<k<5
$$