基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面の位置ベクトル」の問題4 解説
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解説
方針・初手
与えられた式には $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{CP}$ が混在しているので、まず $\overrightarrow{BP},\overrightarrow{CP}$ を $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ で表す。
面積比は、点 $P$ が三角形の内部にあることを示した後、$\overrightarrow{AP}$ の係数から求める。
解法1
まず、
$$ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}
$$
である。
これを
$$ r\overrightarrow{AP}+s\overrightarrow{BP}+t\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}
$$
に代入すると、
$$ r\overrightarrow{AP} +s(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}) +t(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}
$$
となる。よって、
$$ (r+s+t)\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}
$$
であるから、
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC}
$$
を得る。
ここで $r,s,t$ は正の定数であるから、
$$ \frac{s}{r+s+t}>0, \qquad \frac{t}{r+s+t}>0
$$
であり、さらに
$$ \frac{s}{r+s+t}+\frac{t}{r+s+t} = \frac{s+t}{r+s+t} <1
$$
である。
したがって、$\overrightarrow{AP}$ は
$$ \overrightarrow{AP} = u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}
$$
ただし
$$ u>0,\quad v>0,\quad u+v<1
$$
の形で表される。これは点 $P$ が $\triangle ABC$ の内部にあることを表す条件である。よって、点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にある。
次に面積比を求める。
上で得た式より、
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC}
$$
である。
$\triangle PAB$ の面積を考えると、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AP}$ がつくる三角形の面積であるから、
$$ \begin{aligned} [\triangle PAB] &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP} \right| \\ &= \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB}\times \left( \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC} \right) \right| \\ &= \frac{t}{r+s+t} \cdot \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right| \\ &= \frac{t}{r+s+t}[\triangle ABC]. \end{aligned}
$$
同様に、重心座標の対応から、
$$ [\triangle PBC] = \frac{r}{r+s+t}[\triangle ABC], \qquad [\triangle PCA] = \frac{s}{r+s+t}[\triangle ABC]
$$
である。
したがって、
$$ \triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = t:r:s
$$
である。
解説
この問題の核心は、与えられたベクトル方程式を $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ だけで書き直すことである。
得られる式
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC}
$$
は、点 $P$ の三角形内での位置を表す標準形である。係数がともに正で、その和が $1$ より小さいため、$P$ は三角形の内部にある。
また、点 $P$ の重心座標は
$$ \left( \frac{r}{r+s+t}, \frac{s}{r+s+t}, \frac{t}{r+s+t} \right)
$$
である。このとき、各係数はそれぞれ向かい側の小三角形の面積比に対応する。したがって、$\triangle PAB$ は頂点 $C$ の係数 $t$ に対応し、$\triangle PBC$ は頂点 $A$ の係数 $r$ に対応し、$\triangle PCA$ は頂点 $B$ の係数 $s$ に対応する。
答え
**(1)**
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{s}{r+s+t}\overrightarrow{AB} + \frac{t}{r+s+t}\overrightarrow{AC}
$$
また、$r,s,t>0$ より
$$ \frac{s}{r+s+t}>0, \qquad \frac{t}{r+s+t}>0, \qquad \frac{s+t}{r+s+t}<1
$$
であるから、点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にある。
**(2)**
$$ \triangle PAB:\triangle PBC:\triangle PCA = t:r:s
$$