基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面の位置ベクトル」の問題5 解説
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解説
方針・初手
点 $P$ の条件は、位置ベクトルを用いると $P$ を $A,B,C$ の重み付き平均として表せる。まず $P$ の位置を求め、そこから直線 $AP$ と $BC$ の交点 $Q$ を読み取る。
解法1
点 $A,B,C,P$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{p}$ とする。
条件
$$ 2\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}=\vec{0}
$$
より、
$$ 2(\vec{p}-\vec{a})+3(\vec{p}-\vec{b})+4(\vec{p}-\vec{c})=\vec{0}
$$
である。整理すると、
$$ 9\vec{p}=2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}
$$
したがって、
$$ \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}
$$
である。
ここで、点 $Q$ を
$$ \vec{q}=\frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7}
$$
で定めると、
$$ \vec{p} = \frac{2\vec{a}+7\vec{q}}{9}
$$
と書ける。これは、$P$ が直線 $AQ$ 上にあることを表している。
また、
$$ \vec{q}=\frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7}
$$
であるから、$Q$ は辺 $BC$ 上の点である。内分点の公式より、$Q$ は $BC$ を
$$ BQ:QC=4:3
$$
に内分する。
次に面積比を求める。
$A,P,Q$ は一直線上にあり、$Q$ は直線 $BC$ 上にある。また
$$ \vec{p} = \frac{2\vec{a}+7\vec{q}}{9}
$$
より、$P$ は $AQ$ を
$$ AP:PQ=7:2
$$
に内分する。したがって、
$$ \frac{PQ}{AQ}=\frac{2}{9}
$$
である。
三角形 $ABC$ と三角形 $PBC$ は、底辺 $BC$ を共有する。よって面積比は、$A$ と $P$ から直線 $BC$ までの高さの比に等しい。
さらに、$A,P,Q$ は一直線上にあり、$Q$ は直線 $BC$ 上にあるので、$A$ と $P$ から直線 $BC$ までの距離の比は
$$ AQ:PQ=9:2
$$
に等しい。
したがって、
$$ \triangle ABC:\triangle PBC=9:2
$$
である。
解説
この問題の中心は、条件式を位置ベクトルに直して、$P$ を $A,B,C$ の重み付き平均として表すことである。
$$ \vec{p}=\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}
$$
のうち、$\vec{b},\vec{c}$ の部分をまとめると
$$ \frac{3\vec{b}+4\vec{c}}{7}
$$
が現れる。これが直線 $BC$ 上の点 $Q$ の位置ベクトルであり、そこから $Q$ の内分比が分かる。
面積比では、底辺 $BC$ を共通に見るのが自然である。高さの比は、直線 $AP$ と $BC$ の交点 $Q$ を基準にして $AQ:PQ$ に置き換えられる。
答え
**(1)**
$Q$ は $BC$ を
$$ BQ:QC=4:3
$$
に内分する。
**(2)**
$$ \triangle ABC:\triangle PBC=9:2
$$