基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面の位置ベクトル」の問題6 解説
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解説
方針・初手
点 $P$ の条件式には $\overrightarrow{BP}$ と $\overrightarrow{CP}$ が含まれているので、まずこれらを $\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ で表す。
その後、直線 $CP$ 上の点をパラメータで表し、直線 $AB$ 上にある条件から交点 $Q$ を求める。
解法1
$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$、$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$、$\overrightarrow{AP}=\mathbf{p}$ とおく。
このとき、
$$ \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}
-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}
\mathbf{p}-\mathbf{b}
$$
また、
$$ \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}
-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AP}
\mathbf{p}-\mathbf{c}
$$
である。
条件
$$ \overrightarrow{AP}+2\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\mathbf{0}
$$
に代入すると、
$$ \mathbf{p}+2(\mathbf{p}-\mathbf{b})+3(\mathbf{p}-\mathbf{c})=\mathbf{0}
$$
となる。整理して、
$$ 6\mathbf{p}-2\mathbf{b}-3\mathbf{c}=\mathbf{0}
$$
より、
$$ \mathbf{p} = \frac{1}{3}\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{c}
$$
である。したがって、
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
$$
である。
次に、直線 $CP$ と直線 $AB$ の交点を $Q$ とする。
$Q$ は直線 $CP$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{CP}
$$
と表せる。
ここで、
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC} \\ \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AC} \\ \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \\ \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \end{aligned} $$
であるから、
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AQ} &= \overrightarrow{AC} + t\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} &=
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \right) \\ &= \frac{t}{3}\overrightarrow{AB} + \left(1-\frac{t}{2}\right)\overrightarrow{AC} \end{aligned}
$$
となる。
一方、$Q$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{AQ}$ は $\overrightarrow{AB}$ のみで表される。したがって、$\overrightarrow{AC}$ の係数が $0$ でなければならない。
よって、
$$ 1-\frac{t}{2}=0
$$
より、
$$ t=2
$$
である。
これを代入すると、
$$ \overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}
$$
となる。
したがって、
$$ k=\frac{2}{3}
$$
である。
解説
この問題では、基準点を $A$ にそろえてベクトルを表すことが重要である。
$\overrightarrow{BP}$ や $\overrightarrow{CP}$ をそのまま扱うと見通しが悪いが、$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ に直すと、条件式からすぐに $\overrightarrow{AP}$ が求まる。
また、交点 $Q$ を求める場面では、$Q$ が直線 $CP$ 上にあることと、直線 $AB$ 上にあることを同時に使う。直線 $AB$ 上の点は $\overrightarrow{AB}$ のみで表されるため、$\overrightarrow{AC}$ の係数を $0$ にするのが典型的な処理である。
答え
[ア]
$$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
$$
[イ]
$$ k=\frac{2}{3}
$$