基礎問題集
数学C 平面ベクトル「平面の位置ベクトル」の問題10 解説
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解説
方針・初手
点 $A$ を基準にして、$\vec{AB}=\mathbf{b}$、$\vec{AC}=\mathbf{c}$、$\vec{AP}=\mathbf{p}$ とおく。与えられたベクトル方程式からまず $\mathbf{p}$ を $\mathbf{b},\mathbf{c}$ で表す。
解法1
点 $A$ を原点とみなし、
$$ \vec{AB}=\mathbf{b},\quad \vec{AC}=\mathbf{c},\quad \vec{AP}=\mathbf{p}
$$
とおく。
このとき、
$$ \vec{BP}=\mathbf{p}-\mathbf{b},\quad \vec{CP}=\mathbf{p}-\mathbf{c}
$$
である。条件
$$ 4\vec{AP}-6\vec{BP}+\vec{CP}=\vec{0}
$$
に代入すると、
$$ 4\mathbf{p}-6(\mathbf{p}-\mathbf{b})+(\mathbf{p}-\mathbf{c})=\mathbf{0}
$$
である。整理して、
$$ -\mathbf{p}+6\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{0}
$$
より、
$$ \mathbf{p}=6\mathbf{b}-\mathbf{c}
$$
を得る。
(1)
直線 $AB$ 上の点は、ある実数 $t$ を用いて
$$ \vec{AQ}=t\mathbf{b}
$$
と表せる。
また、$Q$ は直線 $PC$ 上にもあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて
$$ \vec{AQ}=\mathbf{p}+\lambda(\mathbf{c}-\mathbf{p})
$$
と表せる。ここで $\mathbf{p}=6\mathbf{b}-\mathbf{c}$ だから、
$$ \begin{aligned} \vec{AQ} &=6\mathbf{b}-\mathbf{c}+\lambda{\mathbf{c}-(6\mathbf{b}-\mathbf{c})} \\ &=6\mathbf{b}-\mathbf{c}+\lambda(-6\mathbf{b}+2\mathbf{c}) \\ &=(6-6\lambda)\mathbf{b}+(-1+2\lambda)\mathbf{c} \end{aligned}
$$
となる。
一方、$Q$ は直線 $AB$ 上にあるから、$\mathbf{c}$ の係数は $0$ でなければならない。よって、
$$ -1+2\lambda=0
$$
より、
$$ \lambda=\frac{1}{2}
$$
である。したがって、
$$ \vec{AQ}=(6-6\cdot \frac{1}{2})\mathbf{b}=3\mathbf{b}
$$
となる。ゆえに、
$$ \vec{AQ}=3\vec{AB}
$$
である。
(2)
$\mathbf{p}=6\mathbf{b}-\mathbf{c}$ より、
$$ \vec{AP}=6\vec{AB}-\vec{AC}
$$
である。これは点 $P$ の重心座標が
$$ P=-4A+6B-C
$$
であることを意味する。実際、
$$ -4+6-1=1
$$
であり、点 $A$ を原点とすると
$$ -4\vec{AA}+6\vec{AB}-\vec{AC}=6\vec{AB}-\vec{AC}
$$
となる。
重心座標において、点 $P$ の係数の絶対値は、それぞれ対応する三角形の面積比を表す。すなわち、
$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB = |-4|:|6|:|-1|
$$
である。したがって、
$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=4:6:1
$$
となる。
(3)
$\angle BAC$ を $\theta$ とし、
$$ |\vec{AB}|=a,\quad |\vec{AC}|=b,\quad \cos\theta=x
$$
とおく。ただし $a>0,\ b>0$ である。
まず、直線 $AB$ と直線 $PC$ が直交する。直線 $PC$ の方向ベクトルは
$$ \vec{PC}=\vec{AC}-\vec{AP}
$$
であるから、
$$ \vec{PC}=\mathbf{c}-(6\mathbf{b}-\mathbf{c})=2\mathbf{c}-6\mathbf{b}
$$
である。よって直交条件より、
$$ \mathbf{b}\cdot(2\mathbf{c}-6\mathbf{b})=0
$$
である。整理すると、
$$ 2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}-6|\mathbf{b}|^2=0
$$
より、
$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=3|\mathbf{b}|^2
$$
である。したがって、
$$ abx=3a^2
$$
となり、$a>0$ より、
$$ bx=3a
$$
を得る。
次に、直線 $AC$ と直線 $PB$ が直交する。直線 $PB$ の方向ベクトルは
$$ \vec{PB}=\vec{AB}-\vec{AP}
$$
であるから、
$$ \vec{PB}=\mathbf{b}-(6\mathbf{b}-\mathbf{c})=\mathbf{c}-5\mathbf{b}
$$
である。よって直交条件より、
$$ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{c}-5\mathbf{b})=0
$$
である。整理すると、
$$ |\mathbf{c}|^2-5\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=0
$$
より、
$$ b^2=5abx
$$
である。$b>0$ より、
$$ b=5ax
$$
を得る。
以上より、
$$ bx=3a,\quad b=5ax
$$
である。$b=5ax$ を $bx=3a$ に代入すると、
$$ 5ax^2=3a
$$
であり、$a>0$ だから、
$$ x^2=\frac{3}{5}
$$
となる。
また、$b=5ax$ で $a>0,\ b>0$ であるから、$x>0$ である。したがって、
$$ x=\sqrt{\frac{3}{5}}
$$
である。
ゆえに、
$$ \cos\angle BAC=\sqrt{\frac{3}{5}}
$$
である。
解説
この問題の中心は、点 $A$ を基準にして $\vec{AP}$ を $\vec{AB},\vec{AC}$ で表すことである。
$$ \vec{AP}=6\vec{AB}-\vec{AC}
$$
が得られれば、(1) は直線上の点のパラメータ表示、(2) は重心座標と面積比、(3) は直交条件を内積で表すことで処理できる。
特に (2) では、係数 $6,-1$ だけを見るのではなく、重心座標として
$$ P=-4A+6B-C
$$
と見直す必要がある。このとき、面積比は係数の絶対値で
$$ 4:6:1
$$
となる。
答え
**(1)**
$$ \vec{AQ}=3\vec{AB}
$$
**(2)**
$$ \triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB=4:6:1
$$
**(3)**
$$ \cos\angle BAC=\sqrt{\frac{3}{5}}
$$