基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間のメネラウスの定理」の問題1 解説
数学Cの空間ベクトル「空間のメネラウスの定理」にある問題1の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
点 $P,Q,R$ の位置ベクトルをまず求める。四面体 $OABC$ では $\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、点 $S$ が平面 $\alpha$ 上にある条件は、$\overrightarrow{PS}$ が $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の一次結合で表せることとして処理できる。
解法1
$OP:PA=1:2$ より、$P$ は辺 $OA$ を $1:2$ に内分するから、
$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\vec a
$$
である。
また、$AQ:QB=1:2$ より、$Q$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分する。したがって、
$$ \overrightarrow{OQ} =\frac{2\vec a+\vec b}{3}
$$
である。
さらに、$BR:RC=1:2$ より、$R$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分するので、
$$ \overrightarrow{OR} =\frac{2\vec b+\vec c}{3}
$$
である。
よって、
$$ \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} =\frac{2\vec a+\vec b}{3}-\frac{\vec a}{3} =\frac{\vec a+\vec b}{3}
$$
である。
同様に、
$$ \overrightarrow{PR} =\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP} =\frac{2\vec b+\vec c}{3}-\frac{\vec a}{3} =\frac{-\vec a+2\vec b+\vec c}{3}
$$
である。
また、$\overrightarrow{OS}=s\vec c$ より、
$$ \overrightarrow{PS} =\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP} =s\vec c-\frac{\vec a}{3}
$$
である。
次に、$P,Q,R,S$ は同じ平面 $\alpha$ 上にあるから、$\overrightarrow{PS}$ は $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の一次結合で表される。すなわち、実数 $x,y$ を用いて
$$ \overrightarrow{PS} =x\overrightarrow{PQ}+y\overrightarrow{PR}
$$
とおける。
これに先ほど求めた式を代入すると、
$$ s\vec c-\frac{\vec a}{3} =x\frac{\vec a+\vec b}{3} +y\frac{-\vec a+2\vec b+\vec c}{3}
$$
である。両辺を $3$ 倍して、
$$ -\vec a+3s\vec c =x(\vec a+\vec b)+y(-\vec a+2\vec b+\vec c)
$$
となる。
右辺を整理すると、
$$ x(\vec a+\vec b)+y(-\vec a+2\vec b+\vec c) =(x-y)\vec a+(x+2y)\vec b+y\vec c
$$
である。
$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、係数を比較して、
$$ \begin{cases} x-y=-1,\\ x+2y=0,\\ y=3s \end{cases}
$$
を得る。
第2式より $x=-2y$ である。これを第1式に代入すると、
$$ -2y-y=-1
$$
より、
$$ y=\frac{1}{3}
$$
である。したがって第3式より、
$$ 3s=\frac{1}{3}
$$
なので、
$$ s=\frac{1}{9}
$$
である。
解説
この問題では、平面上にあることを「ベクトルの一次結合」で表すのが基本である。$P,Q,R$ は比からすぐに位置ベクトルが出るので、まず $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ を求める。
その後、$S$ が同じ平面上にあることから、$\overrightarrow{PS}$ を $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の一次結合で表す。四面体の頂点 $O,A,B,C$ が同一平面上にないため、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立であり、係数比較ができる点が重要である。
答え
**(1)**
$$ \overrightarrow{PQ}=\frac{\vec a+\vec b}{3}
$$
$$ \overrightarrow{PR}=\frac{-\vec a+2\vec b+\vec c}{3}
$$
$$ \overrightarrow{PS}=-\frac{1}{3}\vec a+s\vec c
$$
**(2)**
$$ s=\frac{1}{9}
$$