解説

方針・初手

点 $P,Q,R$ の位置ベクトルをまず求め、平面 $PQR$ 上の点を

$$ \overrightarrow{OP}+u\overrightarrow{PQ}+v\overrightarrow{PR}

$$

と表す。辺 $AC$ 上の点は $\vec{a},\vec{c}$ の一次結合で表され、$\vec{b}$ の係数が $0$ になることを利用する。

解法1

$P$ は $OA$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}

$$

である。

また、$Q$ は辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点、すなわち $OQ:QB=2:1$ であるから、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\vec{b}

$$

である。

さらに、$R$ は $BC$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})

$$

である。

したがって、

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}

-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}

$$

また、

$$ \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}

-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}

$$

である。

次に、平面 $PQR$ と辺 $AC$ との交点を $S$ とする。$S$ は平面 $PQR$ 上にあるので、実数 $u,v$ を用いて

$$ \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OP} + u\overrightarrow{PQ} + v\overrightarrow{PR}

$$

と表せる。

これに上で求めた式を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OS} &= \frac{1}{2}\vec{a} + u\left(-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\right) + v\left(-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right) \\ &= \left(\frac{1}{2}-\frac{u}{2}-\frac{v}{2}\right)\vec{a} + \left(\frac{2u}{3}+\frac{v}{2}\right)\vec{b} + \frac{v}{2}\vec{c} \end{aligned}

$$

となる。

一方、$S$ は辺 $AC$ 上にあるので、ある実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OS}=(1-t)\vec{a}+t\vec{c}

$$

と表せる。

四面体 $OABC$ において $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は一次独立であるから、係数を比較する。

まず $\vec{b}$ の係数は $0$ でなければならないので、

$$ \frac{2u}{3}+\frac{v}{2}=0

$$

すなわち

$$ 4u+3v=0

$$

である。

また、$\vec{c}$ の係数より

$$ t=\frac{v}{2}

$$

である。$\vec{a}$ の係数を比較すると、

$$ \frac{1}{2}-\frac{u}{2}-\frac{v}{2}=1-t

$$

であり、$t=\frac{v}{2}$ を代入して

$$ \frac{1}{2}-\frac{u}{2}-\frac{v}{2}=1-\frac{v}{2}

$$

となる。よって、

$$ -\frac{u}{2}=\frac{1}{2}

$$

より

$$ u=-1

$$

である。

これを $4u+3v=0$ に代入すると、

$$ -4+3v=0

$$

より

$$ v=\frac{4}{3}

$$

である。

したがって、

$$ t=\frac{v}{2}=\frac{2}{3}

$$

であるから、

$$ \overrightarrow{OS} = \frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}

$$

である。

よって、$S$ は辺 $AC$ を

$$ AS:SC=2:1

$$

に内分する。

最後に、四面体 $OABC$ が1辺の長さが $1$ の正四面体である場合を考える。このとき

$$ |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1

$$

であり、また

$$ |\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{b}-\vec{c}|=|\vec{c}-\vec{a}|=1

$$

である。

例えば

$$ |\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}

$$

より、

$$ 1=1+1-2\vec{a}\cdot\vec{b}

$$

だから

$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}

$$

である。同様に、

$$ \vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{1}{2}

$$

である。

また、

$$ \overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\vec{b}, \qquad \overrightarrow{OS}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{c}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QS} &= \overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OQ}\\ &= \frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{QS}|^2 &= \left|\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\right|^2 \\ &= \frac{1}{9}|\vec{a}|^2 +\frac{4}{9}|\vec{b}|^2 +\frac{4}{9}|\vec{c}|^2 -\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b} +\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{c} -\frac{8}{9}\vec{b}\cdot\vec{c} \end{aligned}

$$

である。

ここに $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ および $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\frac{1}{2}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{QS}|^2 &= \frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9} -\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} +\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} -\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{2} \\ &= 1-\frac{4}{9} \\ &= \frac{5}{9} \end{aligned}

$$

となる。

よって、

$$ |\overrightarrow{QS}|=\frac{\sqrt{5}}{3}

$$

である。

解説

平面 $PQR$ と辺 $AC$ の交点を求める問題では、平面上の一般点を2つのパラメータで表すのが基本である。

この問題では、$S$ が辺 $AC$ 上にあるため、$\vec{b}$ の係数が $0$ になることが決定的である。さらに、四面体なので $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は一次独立であり、係数比較が正当化される。

正四面体の場合は、辺の長さがすべて $1$ であることから、原点 $O$ から出る3本のベクトルの内積がすべて $\frac{1}{2}$ になる点を使う。

答え

**(1)**

$$ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}

$$

$$ \overrightarrow{PR} = -\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}

$$

**(2)**

$$ |AS|:|SC|=2:1

$$

**(3)**

$$ |\overrightarrow{QS}|=\frac{\sqrt{5}}{3}

$$