基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間のメネラウスの定理」の問題4 解説
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解説
方針・初手
点 $A_0,B_0,P,Q$ の位置ベクトルを $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の一次結合で表す。$O,A,B,C$ は同一平面上にないので、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。したがって、係数比較によって共面条件を式にできる。
解法1
$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。
$A_0$ は $OA$ の中点、$B_0$ は $OB$ を $1:2$ に内分する点であるから、
$$ \overrightarrow{OA_0}=\frac{1}{2}\mathbf{a},\qquad \overrightarrow{OB_0}=\frac{1}{3}\mathbf{b}
$$
である。
また、$P$ は $AC$ を $s:(1-s)$ に内分する点、$Q$ は $BC$ を $t:(1-t)$ に内分する点であるから、
$$ \overrightarrow{OP}=(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{c},\qquad \overrightarrow{OQ}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}
$$
である。
4点 $A_0,B_0,P,Q$ が同一平面上にあるので、ある実数 $x,y,z$ を用いて
$$ \overrightarrow{OQ} =x\overrightarrow{OA_0} +y\overrightarrow{OB_0} +z\overrightarrow{OP}, \qquad x+y+z=1
$$
と表せる。
これを $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数で比較すると、
$$ (1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} = x\cdot\frac{1}{2}\mathbf{a} +y\cdot\frac{1}{3}\mathbf{b} +z{(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{c}}
$$
より、
$$ \begin{cases} 0=\dfrac{x}{2}+z(1-s),\\ 1-t=\dfrac{y}{3},\\ t=zs,\\ x+y+z=1. \end{cases}
$$
$t=zs$ より $z=\dfrac{t}{s}$ である。また、
$$ x=-2z(1-s)=-\frac{2t(1-s)}{s},\qquad y=3(1-t)
$$
である。
これらを $x+y+z=1$ に代入すると、
$$ -\frac{2t(1-s)}{s}+3(1-t)+\frac{t}{s}=1
$$
となる。整理すると、
$$ t\left(\frac{2s-1}{s}-3\right)=-2
$$
であり、
$$ t\left(-\frac{s+1}{s}\right)=-2
$$
だから、
$$ t=\frac{2s}{s+1}
$$
を得る。これが (1) の答えである。
次に (2) を考える。条件より、
$$ |\mathbf{a}|=1,\qquad |\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=2
$$
であり、
$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =1\cdot 2\cos120^\circ=-1
$$
$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} =2\cdot 2\cos90^\circ=0
$$
$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{a} =2\cdot 1\cos60^\circ=1
$$
である。
$\angle POQ=90^\circ$ であるから、
$$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0
$$
が成り立つ。したがって、
$$ {(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{c}}\cdot{(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}}=0
$$
である。
左辺を展開すると、
$$ (1-s)(1-t)\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} +(1-s)t\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} +s(1-t)\mathbf{c}\cdot\mathbf{b} +st\mathbf{c}\cdot\mathbf{c}=0
$$
となる。内積の値を代入して、
$$ -(1-s)(1-t)+(1-s)t+4st=0
$$
である。すなわち、
$$ (1-s)(-1+2t)+4st=0
$$
となる。
ここで (1) より $t=\dfrac{2s}{s+1}$ であるから、
$$ (1-s)\left(-1+\frac{4s}{s+1}\right)+4s\cdot\frac{2s}{s+1}=0
$$
となる。整理すると、
$$ (1-s)\frac{3s-1}{s+1}+\frac{8s^2}{s+1}=0
$$
である。$s+1>0$ なので、両辺に $s+1$ をかけて、
$$ (1-s)(3s-1)+8s^2=0
$$
を得る。
これを展開すると、
$$ 3s-1-3s^2+s+8s^2=0
$$
より、
$$ 5s^2+4s-1=0
$$
である。因数分解して、
$$ (5s-1)(s+1)=0
$$
となる。
$0<s<1$ であるから、
$$ s=\frac{1}{5}
$$
である。
解説
この問題の中心は、空間内の共面条件をベクトルの一次結合で処理する点である。$O,A,B,C$ が同一平面上にないことから、$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が一次独立であり、係数比較が正当化される。
また、内分点の位置ベクトルを正しく書くことが重要である。特に、$AC$ を $s:(1-s)$ に内分する点 $P$ は
$$ \overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OC}
$$
であり、係数の順序を逆にしないよう注意する。
**(2)**
では、$\angle POQ=90^\circ$ を $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$ に置き換える。与えられた長さと角度から内積を計算し、（1）で得た $t=\dfrac{2s}{s+1}$ を代入すれば、$s$ の二次方程式に帰着する。
答え
**(1)**
$$ t=\frac{2s}{s+1}
$$
**(2)**
$$ s=\frac{1}{5}
$$