解説

方針・初手

$\vec{c}=(x,y,z)$ とおけば、$\cos\alpha,\cos\beta$ は内積で $x,y$ を用いて表せる。 まず左辺を $x,y$ で整理し、$\vec{c}$ が単位ベクトルであることから (1) を示す。

(2) では、不等式を $\cos\beta$ について解いたあと、$0\leqq\beta\leqq\pi$ で $\cos\beta$ が単調減少であることを使って $\beta$ の範囲に直す。

解法1

$\vec{c}=(x,y,z)$ とおく。$\vec{c}$ は長さ $1$ の空間ベクトルだから

$$ x^2+y^2+z^2=1 $$

である。

また

$$ \vec{a}=(1,0,0),\qquad \vec{b}=\left(\cos\frac{\pi}{3},\sin\frac{\pi}{3},0\right) =\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right) $$

より

$$ \cos\alpha=\vec{a}\cdot\vec{c}=x $$

であり、

$$ \cos\beta=\vec{b}\cdot\vec{c} =\frac12x+\frac{\sqrt3}{2}y $$

である。

(1)

したがって

$$ \begin{aligned} \cos^2\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta &=x^2-x\left(\frac12x+\frac{\sqrt3}{2}y\right) +\left(\frac12x+\frac{\sqrt3}{2}y\right)^2\\ &=x^2-\frac12x^2-\frac{\sqrt3}{2}xy +\frac14x^2+\frac{\sqrt3}{2}xy+\frac34y^2\\ &=\frac34x^2+\frac34y^2\\ &=\frac34(x^2+y^2) \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ x^2+y^2\leqq 1 $$

だから

$$ \cos^2\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta =\frac34(x^2+y^2)\leqq\frac34 $$

となり、示された。

(2)

不等式

$$ \cos^2\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta\leqq\frac34 $$

を $\cos\beta$ についての二次不等式と見る。

$$ t=\cos\beta $$

とおくと

$$ t^2-(\cos\alpha)t+\cos^2\alpha-\frac34\leqq0 $$

である。

この二次方程式の判別式は

$$ \begin{aligned} D &=\cos^2\alpha-4\left(\cos^2\alpha-\frac34\right)\\ &=3-3\cos^2\alpha\\ &=3\sin^2\alpha \end{aligned} $$

である。$0\leqq\alpha\leqq\pi$ では $\sin\alpha\geqq0$ だから、二つの解は

$$ t=\frac{\cos\alpha\pm\sqrt3\sin\alpha}{2} $$

である。

ここで

$$ \frac{\cos\alpha+\sqrt3\sin\alpha}{2} =\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right), $$

$$ \frac{\cos\alpha-\sqrt3\sin\alpha}{2} =\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) $$

だから、

$$ \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \leqq \cos\beta \leqq \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right) $$

を得る。

ここで $0\leqq\beta\leqq\pi$ において $\cos\beta$ は単調減少であるから、左右を別々に処理する。

まず

$$ \cos\beta\leqq\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right) $$

について考える。

**(i)** $0\leqq\alpha\leqq\dfrac{\pi}{3}$ のとき

$$ \alpha-\frac{\pi}{3}\leqq0 $$

なので

$$ \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) $$

である。よって

$$ \beta\geqq\frac{\pi}{3}-\alpha $$

となる。

**(ii)** $\dfrac{\pi}{3}\leqq\alpha\leqq\pi$ のとき

$$ 0\leqq\alpha-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{2\pi}{3} $$

だから

$$ \beta\geqq\alpha-\frac{\pi}{3} $$

となる。

したがって

$$ \beta\geqq\left|\alpha-\frac{\pi}{3}\right| $$

である。

次に

$$ \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)\leqq\cos\beta $$

について考える。

**(i)** $0\leqq\alpha\leqq\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

$$ 0\leqq\alpha+\frac{\pi}{3}\leqq\pi $$

だから

$$ \beta\leqq\alpha+\frac{\pi}{3} $$

となる。

**(ii)** $\dfrac{2\pi}{3}\leqq\alpha\leqq\pi$ のとき

$$ \pi\leqq\alpha+\frac{\pi}{3}\leqq\frac{4\pi}{3} $$

であるから

$$ \cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) =\cos\left(2\pi-\alpha-\frac{\pi}{3}\right) =\cos\left(\frac{5\pi}{3}-\alpha\right) $$

となる。

ここで

$$ \frac{2\pi}{3}\leqq\frac{5\pi}{3}-\alpha\leqq\pi $$

だから

$$ \beta\leqq\frac{5\pi}{3}-\alpha $$

となる。

以上より、求める範囲は

$$ \left|\alpha-\frac{\pi}{3}\right| \leqq \beta \leqq \begin{cases} \alpha+\dfrac{\pi}{3} & \left(0\leqq\alpha\leqq\dfrac{2\pi}{3}\right),\\[6pt] \dfrac{5\pi}{3}-\alpha & \left(\dfrac{2\pi}{3}\leqq\alpha\leqq\pi\right) \end{cases} $$

である。

これは $\alpha\beta$ 平面上で

$$ \left(0,\frac{\pi}{3}\right),\quad \left(\frac{\pi}{3},0\right),\quad \left(\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right),\quad \left(\pi,\frac{2\pi}{3}\right),\quad \left(\frac{2\pi}{3},\pi\right),\quad \left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right) $$

を順に結んだ六角形の内部および周である。

解説

(1) の本質は、$\vec{c}=(x,y,z)$ とおいて左辺を直接計算すると

$$ \cos^2\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta =\frac34(x^2+y^2) $$

まで落ちる点にある。あとは単位ベクトル条件

$$ x^2+y^2+z^2=1 $$

から直ちに従う。

(2) では $\cos\beta$ について解いた後、$[0,\pi]$ での $\cos$ の単調減少性だけで $\beta$ の範囲へ直している。こうすると境界は直線になり、図形は六角形として表せる。

答え

**(1)**

示すべき不等式は成立する。

**(2)**

$$ \left|\alpha-\frac{\pi}{3}\right| \leqq \beta \leqq \begin{cases} \alpha+\dfrac{\pi}{3} & \left(0\leqq\alpha\leqq\dfrac{2\pi}{3}\right),\\[6pt] \dfrac{5\pi}{3}-\alpha & \left(\dfrac{2\pi}{3}\leqq\alpha\leqq\pi\right) \end{cases} $$

図示すると、$\alpha\beta$ 平面上で

$$ \left(0,\frac{\pi}{3}\right),\quad \left(\frac{\pi}{3},0\right),\quad \left(\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right),\quad \left(\pi,\frac{2\pi}{3}\right),\quad \left(\frac{2\pi}{3},\pi\right),\quad \left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right) $$

を順に結んだ六角形の内部および周である。