解説

方針・初手

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ をそれぞれ $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ とおく。

対辺が垂直である条件は、例えば $OA \perp BC$ を $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b})=0$ と表せる。これにより内積 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b},\mathbf{b}\cdot\mathbf{c},\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}$ の関係が得られるので、まずそこから辺の比を求める。

解法1

$OA=x,\ OB=y,\ OC=z$ とおく。

$OA\perp BC$ より、

$$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{b})=0

$$

であるから、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}

$$

である。

同様に、$OB\perp CA$ より、

$$ \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{c})=0

$$

だから、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}

$$

である。また、$OC\perp AB$ より、

$$ \mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a})=0

$$

だから、

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{c}\cdot\mathbf{a}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} &= \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}\\ &= \mathbf{c}\cdot\mathbf{a} \end{aligned} $$

が成り立つ。

与えられた角度条件より、

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=yz\cos\frac{\pi}{3}=\frac{yz}{2}

$$

また、

$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=zx\cos\frac{\pi}{4}=\frac{zx}{\sqrt{2}}

$$

さらに、

$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=xy\cos\frac{\pi}{4}=\frac{xy}{\sqrt{2}}

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \frac{yz}{2} &= \frac{zx}{\sqrt{2}}\\ &= \frac{xy}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

である。辺の長さは正であるから、

$$ \frac{yz}{2}=\frac{zx}{\sqrt{2}}

$$

より、

$$ y=\sqrt{2}x

$$

また、

$$ \frac{yz}{2}=\frac{xy}{\sqrt{2}}

$$

より、

$$ z=\sqrt{2}x

$$

である。したがって、

$$ OA:OB:OC=x:\sqrt{2}x:\sqrt{2}x=1:\sqrt{2}:\sqrt{2}

$$

となる。

次に、$OA\perp$ 平面 $ABC$ を示す。

平面 $ABC$ 上の2本の直線 $AB,AC$ に対して $OA$ がともに垂直であることを示せばよい。

先ほどの結果より、$y=z=\sqrt{2}x$ であり、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} &= xy\cos\frac{\pi}{4}\\ &= x\cdot \sqrt{2}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\ &= x^2 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}-\mathbf{a}) &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\\ &= x^2-x^2\\ &= 0 \end{aligned} $$

となる。したがって、$OA\perp AB$ である。

同様に、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} &= xz\cos\frac{\pi}{4}\\ &= x\cdot \sqrt{2}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\ &= x^2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}-\mathbf{a}) &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\\ &= x^2-x^2\\ &= 0 \end{aligned} $$

となる。したがって、$OA\perp AC$ である。

$AB$ と $AC$ は平面 $ABC$ 上の交わる2直線であるから、$OA$ は平面 $ABC$ に垂直である。

最後に、$OA=2$ のときの体積を求める。

$OA:OB:OC=1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$ より、

$$ OA=2,\quad OB=OC=2\sqrt{2}

$$

である。

三角形 $ABC$ の辺の長さを求める。まず、

$$ AB^2=OA^2+OB^2-2\cdot OA\cdot OB\cos\frac{\pi}{4}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} AB^2 &= 2^2+(2\sqrt{2})^2-2\cdot2\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &= 4+8-8\\ &= 4 \end{aligned} $$

よって、

$$ AB=2

$$

である。同様に、

$$ AC=2

$$

である。

また、$\angle BOC=\frac{\pi}{3}$ より、

$$ BC^2 = OB^2+OC^2-2\cdot OB\cdot OC\cos\frac{\pi}{3}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} BC^2 &= 8+8-2\cdot2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}\\ &= 16-8\\ &= 8 \end{aligned} $$

したがって、

$$ BC=2\sqrt{2}

$$

である。

すると、

$$ AB^2+AC^2=4+4=8=BC^2

$$

より、三角形 $ABC$ は $A$ を直角とする直角二等辺三角形である。よって、その面積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC &= \frac{1}{2}\cdot2\cdot2\\ &= 2 \end{aligned} $$

である。

また、$OA\perp$ 平面 $ABC$ であるから、四面体 $OABC$ の高さは $OA=2$ である。したがって体積は、

$$ \frac{1}{3}\cdot 2\cdot 2=\frac{4}{3}

$$

である。

解説

対辺の垂直条件を、辺そのものではなくベクトルの内積で表すことが核心である。

$OA\perp BC$ は $\mathbf{a}\perp(\mathbf{c}-\mathbf{b})$ と書けるため、$\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ が得られる。同様に処理すると、3つの内積がすべて等しいことが分かる。この等式と角度条件を組み合わせると、辺の比が一気に決まる。

また、(2) は単に「対辺が垂直だから」としてはいけない。$OA$ が平面 $ABC$ に垂直であることを示すには、平面 $ABC$ 上の交わる2直線、例えば $AB,AC$ の両方に垂直であることを確認する必要がある。

答え

**(1)**

$$ OA:OB:OC=1:\sqrt{2}:\sqrt{2}

$$

**(2)**

$OA\perp AB$ かつ $OA\perp AC$ であり、$AB,AC$ は平面 $ABC$ 上の交わる2直線である。よって、

$$ OA\perp \text{平面 }ABC

$$

である。

**(3)**

$$ \frac{4}{3}

$$