解説

方針・初手

正四面体では、同じ頂点 $O$ から出る $3$ 本の辺の長さがすべて $1$ であり、互いのなす角は $60^\circ$ である。したがって、ベクトルの内積を使うと処理しやすい。

点 $N$ は辺 $BC$ 上にあるので、$BN:NC$ を表す文字を置き、条件 $\angle LMN=90^\circ$ を

$$ \overrightarrow{ML}\cdot \overrightarrow{MN}=0

$$

で表す。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{OC}=\mathbf c$ とおく。

正四面体の一辺の長さは $1$ なので、

$$ |\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1

$$

である。また、例えば $AB=1$ より

$$ |\mathbf a-\mathbf b|^2=1

$$

であるから、

$$ |\mathbf a|^2+|\mathbf b|^2-2\mathbf a\cdot\mathbf b=1

$$

すなわち

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=\frac{1}{2}

$$

である。同様に、

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf c=\mathbf c\cdot\mathbf a=\frac{1}{2}

$$

である。

点 $L$ は $OA$ を $1:2$ に内分するから、

$$ \overrightarrow{OL}=\frac{1}{3}\mathbf a

$$

である。また、点 $M$ は $OB$ の中点であるから、

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\mathbf b

$$

である。

点 $N$ は辺 $BC$ 上にあるので、

$$ \overrightarrow{ON}=(1-t)\mathbf b+t\mathbf c

$$

とおく。ただし、$t=\dfrac{BN}{BC}$ であり、$0\leqq t\leqq 1$ である。

このとき、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ML} &= \overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OM}\\ &= \frac{1}{3}\mathbf a-\frac{1}{2}\mathbf b \end{aligned} $$

また、

$$ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}

\left(\frac{1}{2}-t\right)\mathbf b+t\mathbf c

$$

である。

条件 $\angle LMN=90^\circ$ より、

$$ \overrightarrow{ML}\cdot \overrightarrow{MN}=0

$$

である。よって、

$$ \left(\frac{1}{3}\mathbf a-\frac{1}{2}\mathbf b\right) \cdot \left\{\left(\frac{1}{2}-t\right)\mathbf b+t\mathbf c\right\} =0

$$

を解く。

内積の値を代入すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{ML}\cdot \overrightarrow{MN} &= \frac{1}{3} \left\{ \left(\frac{1}{2}-t\right)\mathbf a\cdot\mathbf b +t\mathbf a\cdot\mathbf c \right\} -\frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{1}{2}-t\right)\mathbf b\cdot\mathbf b +t\mathbf b\cdot\mathbf c \right\} \\ &= \frac{1}{3} \left\{ \left(\frac{1}{2}-t\right)\frac{1}{2} +t\cdot\frac{1}{2} \right\} -\frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{1}{2}-t\right) +t\cdot\frac{1}{2} \right\} \\ &= \frac{1}{12} -\left(\frac{1}{4}-\frac{t}{4}\right) \\ &= \frac{t}{4}-\frac{1}{6} \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ \frac{t}{4}-\frac{1}{6}=0

$$

より、

$$ t=\frac{2}{3}

$$

である。よって、

$$ BN:NC=t:(1-t)=\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=2:1

$$

である。

次に、$\angle MNB=\theta$ の余弦を求める。$t=\dfrac{2}{3}$ より、

$$ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}\mathbf b+\frac{2}{3}\mathbf c

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{NM} &= \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\\ &= \frac{1}{2}\mathbf b-\left(\frac{1}{3}\mathbf b+\frac{2}{3}\mathbf c\right)\\ &= \frac{1}{6}\mathbf b-\frac{2}{3}\mathbf c \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{NB} &= \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{ON}\\ &= \mathbf b-\left(\frac{1}{3}\mathbf b+\frac{2}{3}\mathbf c\right)\\ &= \frac{2}{3}\mathbf b-\frac{2}{3}\mathbf c \end{aligned} $$

である。

まず内積を計算すると、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NB} &= \left(\frac{1}{6}\mathbf b-\frac{2}{3}\mathbf c\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\mathbf b-\frac{2}{3}\mathbf c\right) \\ &= \frac{1}{9} -\frac{1}{18} -\frac{2}{9} +\frac{4}{9} \\ &= \frac{5}{18} \end{aligned}

$$

である。

次に長さを求める。

$$ |\overrightarrow{NB}|=BN=\frac{2}{3}

$$

である。また、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{NM}|^2 &= \left|\frac{1}{6}\mathbf b-\frac{2}{3}\mathbf c\right|^2 \\ &= \frac{1}{36} +\frac{4}{9} -2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2} \\ &= \frac{13}{36} \end{aligned}

$$

より、

$$ |\overrightarrow{NM}|=\frac{\sqrt{13}}{6}

$$

である。

したがって、

$$ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NB}} {|\overrightarrow{NM}|,|\overrightarrow{NB}|} = \frac{\frac{5}{18}} \begin{aligned} {\frac{\sqrt{13}}{6}\cdot\frac{2}{3}} &= \frac{5}{2\sqrt{13}}\\ &= \frac{5\sqrt{13}}{26} \end{aligned} $$

である。

解説

正四面体の問題では、座標を具体的に置く方法もあるが、各辺の長さがすべて $1$ であることから、ベクトルの内積で処理するのが自然である。

重要なのは、正四面体の同一頂点から出る辺どうしの内積がすべて $\dfrac{1}{2}$ になる点である。これにより、空間図形の問題を平面的な計算に落とせる。

また、点 $N$ が辺 $BC$ 上にあるため、$\overrightarrow{ON}=(1-t)\mathbf b+t\mathbf c$ とおけば、$t$ がそのまま $BN$ の割合を表す。直角条件を内積 $0$ に翻訳することで、$t$ が一意に決まる。

答え

**(1)**

$$ BN:NC=2:1

$$

**(2)**

$$ \cos\theta=\frac{5\sqrt{13}}{26}

$$