解説

方針・初手

四面体なので，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を基底として各点の位置ベクトルを表す。

$PQ$ と $EF$ が交わる条件は，ある実数 $s,u$ が存在して

$$ \overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OE}+u\overrightarrow{EF}

$$

となることである。これを $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の係数比較に帰着する。

解法1

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。

$E$ は辺 $AB$ の中点であるから

$$ \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}

$$

である。

$F$ は辺 $OC$ を $2:1$ に内分する点であるから

$$ \overrightarrow{OF} = \frac{2}{3}\mathbf{c}

$$

である。

$P$ は辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点であるから

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\mathbf{a}

$$

である。

また，$\overrightarrow{BQ}=t\overrightarrow{BC}$ より

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{BC}\\ &= \mathbf{b}+t(\mathbf{c}-\mathbf{b})\\ &= (1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c} \end{aligned} $$

である。

点 $PQ$ 上の点は，実数 $s$ を用いて

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OP}+s(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\\ &= \frac{1}{3}\mathbf{a} +s\left\{(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}-\frac{1}{3}\mathbf{a}\right\}\\ &= \frac{1-s}{3}\mathbf{a} +s(1-t)\mathbf{b} +st\mathbf{c} \end{aligned}

$$

と表される。

一方，点 $EF$ 上の点は，実数 $u$ を用いて

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OX} &= \overrightarrow{OE}+u(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE})\\ &= \left(\frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}\right) +u\left(\frac{2}{3}\mathbf{c}-\frac{1}{2}\mathbf{a}-\frac{1}{2}\mathbf{b}\right)\\ &= \frac{1-u}{2}\mathbf{a} +\frac{1-u}{2}\mathbf{b} +\frac{2u}{3}\mathbf{c} \end{aligned}

$$

と表される。

$PQ$ と $EF$ が交わるとき，これらは等しい。四面体であるから $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ は一次独立なので，係数を比較して

$$ \begin{cases} \dfrac{1-s}{3}=\dfrac{1-u}{2}\\ s(1-t)=\dfrac{1-u}{2}\\ st=\dfrac{2u}{3} \end{cases}

$$

を得る。

第1式と第2式より

$$ s(1-t)=\frac{1-s}{3}

$$

である。したがって

$$ 3s(1-t)=1-s

$$

より

$$ s(4-3t)=1

$$

すなわち

$$ s=\frac{1}{4-3t}

$$

である。

また，第1式より

$$ 2(1-s)=3(1-u)

$$

だから

$$ 3u-2s=1

$$

である。さらに第3式より

$$ u=\frac{3st}{2}

$$

であるから，これを代入して

$$ 3\cdot\frac{3st}{2}-2s=1

$$

となる。したがって

$$ s\left(\frac{9t}{2}-2\right)=1

$$

より

$$ s=\frac{2}{9t-4}

$$

である。

よって

$$ \frac{1}{4-3t} = \frac{2}{9t-4}

$$

を解けばよい。これより

$$ 9t-4=2(4-3t)

$$

だから

$$ 9t-4=8-6t

$$

となり，

$$ 15t=12

$$

より

$$ t=\frac{4}{5}

$$

を得る。

このとき

$$ s=\frac{1}{4-3\cdot\frac{4}{5}} = \frac{5}{8}

$$

であり，

$$ \begin{aligned} u=\frac{3st}{2} &= \frac{3}{2}\cdot\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{5}\\ &= \frac{3}{4} \end{aligned} $$

である。どちらも $0$ 以上 $1$ 以下なので，実際に線分 $PQ$ と線分 $EF$ は交わる。

解説

空間図形の問題だが，交点条件は位置ベクトルの係数比較で処理できる。

この問題では，$Q$ が $BC$ 上を動くので $t$ を含む点 $Q$ の位置ベクトルをまず正確に表すことが重要である。そのうえで，$PQ$ 上の点と $EF$ 上の点をそれぞれ媒介変数で表し，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ の係数を比較すればよい。

四面体であることから，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ が一次独立であり，係数比較が正当化される点も押さえる必要がある。

答え

$$ t=\frac{4}{5}

$$