解説

方針・初手

点 $A$ を原点とし、$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ をベクトルとして扱う。

点 $E$ が $A,B,C,D$ から等距離にある条件は、たとえば $EA=EB$ から内積条件に変換できる。これにより、$\overrightarrow{AE}$ の内積が決まり、$\overrightarrow{AE}$ 自体を求められる。

解法1

点 $A$ を原点とし、

$$ \mathbf{b}=\overrightarrow{AB},\quad \mathbf{c}=\overrightarrow{AC},\quad \mathbf{d}=\overrightarrow{AD},\quad \mathbf{x}=\overrightarrow{AE}

$$

とおく。

与えられた条件より、

$$ |\mathbf{b}|=1,\quad |\mathbf{c}|=2,\quad |\mathbf{d}|=3

$$

であり、内積は

$$ \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}=1\cdot 2\cos 60^\circ=1

$$

$$ \mathbf{c}\cdot\mathbf{d}=2\cdot 3\cos 60^\circ=3

$$

$$ \mathbf{d}\cdot\mathbf{b}=3\cdot 1\cos 90^\circ=0

$$

である。

点 $E$ が $A$ と $B$ から等距離にあるので、

$$ |\mathbf{x}|=|\mathbf{x}-\mathbf{b}|

$$

である。両辺を2乗して整理すると、

$$ |\mathbf{x}|^2=|\mathbf{x}-\mathbf{b}|^2 =|\mathbf{x}|^2-2\mathbf{x}\cdot\mathbf{b}+|\mathbf{b}|^2

$$

より、

$$ 2\mathbf{x}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{b}|^2

$$

したがって、

$$ \mathbf{x}\cdot\mathbf{b}=\frac{1}{2}

$$

同様に、$EA=EC,\ EA=ED$ から

$$ \mathbf{x}\cdot\mathbf{c}=\frac{|\mathbf{c}|^2}{2}=2

$$

$$ \mathbf{x}\cdot\mathbf{d}=\frac{|\mathbf{d}|^2}{2}=\frac{9}{2}

$$

を得る。

ここで $\mathbf{x}$ を

$$ \mathbf{x}=\alpha\mathbf{b}+\beta\mathbf{c}+\gamma\mathbf{d}

$$

とおく。両辺と $\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$ との内積をとると、

$$ \begin{cases} \alpha+\beta=\dfrac{1}{2} \\ \alpha+4\beta+3\gamma=2 \\ 3\beta+9\gamma=\dfrac{9}{2} \end{cases}

$$

となる。

第1式より $\alpha=\dfrac{1}{2}-\beta$ である。これを第2式に代入すると、

$$ \frac{1}{2}-\beta+4\beta+3\gamma=2

$$

より、

$$ \beta+\gamma=\frac{1}{2}

$$

また、第3式を $3$ で割ると、

$$ \beta+3\gamma=\frac{3}{2}

$$

である。よって、

$$ 2\gamma=1

$$

から

$$ \gamma=\frac{1}{2}

$$

となり、

$$ \beta=0,\quad \alpha=\frac{1}{2}

$$

を得る。

したがって、

$$ \mathbf{x} =\frac{1}{2}\mathbf{b}+\frac{1}{2}\mathbf{d} =\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}

$$

である。

よって、

$$ AE^2=|\mathbf{x}|^2 =\left|\frac{\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}\right|^2 =\frac{1}{4}\left(|\mathbf{b}|^2+2\mathbf{b}\cdot\mathbf{d}+|\mathbf{d}|^2\right)

$$

ここで $|\mathbf{b}|=1,\ |\mathbf{d}|=3,\ \mathbf{b}\cdot\mathbf{d}=0$ だから、

$$ AE^2=\frac{1}{4}(1+0+9)=\frac{5}{2}

$$

したがって、

$$ AE=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}

$$

である。

解法2

座標を設定して求める。

点 $A$ を原点、点 $B$ を

$$ A=(0,0,0),\quad B=(1,0,0)

$$

とおく。

$AC=2,\ \angle BAC=60^\circ$ より、点 $C$ を $xy$ 平面上にとれば、

$$ C=(1,\sqrt{3},0)

$$

とできる。

また、$\angle DAB=90^\circ$ より、点 $D$ の $x$ 座標は $0$ である。そこで

$$ D=(0,u,v)

$$

とおく。

$AD=3$ より、

$$ u^2+v^2=9

$$

である。また、$\angle CAD=60^\circ$ より、

$$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD} =2\cdot 3\cos 60^\circ=3

$$

である。すなわち、

$$ (1,\sqrt{3},0)\cdot(0,u,v)=3

$$

だから、

$$ \sqrt{3}u=3

$$

より、

$$ u=\sqrt{3}

$$

となる。したがって、

$$ v^2=9-3=6

$$

である。符号は $AE$ の長さには影響しないので、

$$ D=(0,\sqrt{3},\sqrt{6})

$$

としてよい。

点 $E=(X,Y,Z)$ とおく。$EA=EB$ より、

$$ X=\frac{1}{2}

$$

である。

また、$EA=EC$ より、

$$ E\cdot C=\frac{|C|^2}{2}=2

$$

だから、

$$ X+\sqrt{3}Y=2

$$

である。$X=\dfrac{1}{2}$ を代入して、

$$ Y=\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

を得る。

さらに、$EA=ED$ より、

$$ E\cdot D=\frac{|D|^2}{2}=\frac{9}{2}

$$

だから、

$$ \sqrt{3}Y+\sqrt{6}Z=\frac{9}{2}

$$

である。$Y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、

$$ \frac{3}{2}+\sqrt{6}Z=\frac{9}{2}

$$

より、

$$ Z=\frac{\sqrt{6}}{2}

$$

となる。

したがって、

$$ E=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right)

$$

であるから、

$$ AE^2 =\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{6}{4} =\frac{5}{2}

$$

よって、

$$ AE=\frac{\sqrt{10}}{2}

$$

である。

解説

この問題の本質は、空間図形をそのまま扱うのではなく、点 $E$ が等距離にある条件を内積条件に変換することである。

特に、

$$ |\mathbf{x}|=|\mathbf{x}-\mathbf{b}|

$$

から

$$ \mathbf{x}\cdot\mathbf{b}=\frac{|\mathbf{b}|^2}{2}

$$

が得られる点が重要である。これは空間内の垂直二等分面の方程式をベクトルで表している。

解法1では、点 $E$ の位置ベクトルが

$$ \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

$$

と分かるため、計算が非常に短くなる。座標計算でも解けるが、内積を用いる方が条件を直接使えて見通しがよい。

答え

$$ \boxed{\frac{\sqrt{10}}{2}}

$$