解説

方針・初手

点 $P$ を

$$ \overrightarrow{OP}=p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB}+r\overrightarrow{OC}

$$

と表すとき、$p,q,r$ は四面体 $OABC$ における座標のように扱える。特に、$P$ が平面 $ABC$ 上にある条件は $p+q+r=1$ であり、三角形 $ABC$ の内部にある条件はさらに $p,q,r$ がすべて正であることになる。

解法1

四面体 $OABC$ であるから、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立である。したがって、

$$ \overrightarrow{OP}=p\vec a+q\vec b+r\vec c

$$

という表し方は一意である。

**(1)**

点 $P$ が線分 $BC$ を $t:(1-t)$ に内分するとは、

$$ BP:PC=t:(1-t)

$$

である。内分点の公式より、

$$ \overrightarrow{OP} =(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}

$$

である。

よって

$$ \overrightarrow{OP} =0\cdot \overrightarrow{OA}+(1-t)\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}

$$

と表されるので、

$$ p=0,\qquad q=1-t,\qquad r=t

$$

である。

**(2)**

点 $P$ が平面 $ABC$ 上にあるためには、$P$ は $A,B,C$ の重心座標で

$$ \overrightarrow{OP} =\alpha\overrightarrow{OA}+\beta\overrightarrow{OB}+\gamma\overrightarrow{OC}, \qquad \alpha+\beta+\gamma=1

$$

と表される必要がある。

いまの記号では $\alpha=p,\beta=q,\gamma=r$ であるから、平面 $ABC$ 上にある条件は

$$ p+q+r=1

$$

である。

さらに、$P$ が三角形 $ABC$ の内部、ただし辺上を含まない部分にあるためには、重心座標がすべて正でなければならない。したがって条件は

$$ p>0,\qquad q>0,\qquad r>0,\qquad p+q+r=1

$$

である。

**(3)**

四面体 $OABC$ の体積を $V$ とする。すなわち

$$ V=\frac{1}{6}\left|\det(\vec a,\vec b,\vec c)\right|

$$

である。

まず、四面体 $OABP$ の体積 $V_1$ を考える。

$$ \begin{aligned} 6V_1 &=\left|\det(\vec a,\vec b,\overrightarrow{OP})\right|\\ &=\left|\det(\vec a,\vec b,p\vec a+q\vec b+r\vec c)\right|\\ &=\left|r\det(\vec a,\vec b,\vec c)\right| \end{aligned}

$$

ここで、$\det(\vec a,\vec b,\vec a)=0,\det(\vec a,\vec b,\vec b)=0$ を用いた。$P$ は三角形 $ABC$ の内部にあるので $r>0$ であり、

$$ V_1=rV

$$

となる。

次に、四面体 $OBCP$ の体積 $V_2$ は

$$ \begin{aligned} 6V_2 &=\left|\det(\vec b,\vec c,\overrightarrow{OP})\right|\\ &=\left|\det(\vec b,\vec c,p\vec a+q\vec b+r\vec c)\right|\\ &=\left|p\det(\vec b,\vec c,\vec a)\right| \end{aligned}

$$

である。$\det(\vec b,\vec c,\vec a)$ は $\det(\vec a,\vec b,\vec c)$ と符号を保つ巡回置換で一致するから、

$$ V_2=pV

$$

である。

同様に、四面体 $OCAP$ の体積 $V_3$ は

$$ \begin{aligned} 6V_3 &=\left|\det(\vec c,\vec a,\overrightarrow{OP})\right|\\ &=\left|\det(\vec c,\vec a,p\vec a+q\vec b+r\vec c)\right|\\ &=\left|q\det(\vec c,\vec a,\vec b)\right| \end{aligned}

$$

より、

$$ V_3=qV

$$

である。

したがって、

$$ V_1:V_2:V_3=rV:pV:qV

$$

となるので、

$$ V_1:V_2:V_3=r:p:q

$$

である。

解説

この問題では、$\overrightarrow{OP}=p\vec a+q\vec b+r\vec c$ の係数 $p,q,r$ を、点 $P$ の位置を表す座標として読むことが重要である。

点 $P$ が平面 $ABC$ 上にある条件は $p+q+r=1$ であり、三角形 $ABC$ の内部にある条件は $p,q,r$ がすべて正であることになる。辺上を含まないため、不等号は $\geqq 0$ ではなく $>0$ である。

体積比では、どの係数がどの四面体に対応するかを取り違えやすい。四面体 $OABP$ は、$P$ の $\vec c$ 方向の成分だけが体積に効くため $r$ に比例する。同様に、$OBCP$ は $p$、$OCAP$ は $q$ に比例する。

答え

**(1)**

$$ p=0,\qquad q=1-t,\qquad r=t

$$

**(2)**

$$ p>0,\qquad q>0,\qquad r>0,\qquad p+q+r=1

$$

**(3)**

$$ V_1:V_2:V_3=r:p:q

$$