解説

方針・初手

点 $D$ とその対称点 $E$ の中点は平面 $ABC$ 上にあり，直線 $DE$ は平面 $ABC$ に垂直である。

したがって，まず平面 $ABC$ の方程式を求め，その法線方向に沿って点 $D$ を反転させればよい。

解法1

平面 $ABC$ の法線ベクトルを求める。

$$ \overrightarrow{AB}=(-1,-1,1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,0,2)

$$

よって，法線ベクトルは

$$ \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = (-2,0,-2)

$$

であるから，平面 $ABC$ の法線ベクトルとして

$$ \boldsymbol{n}=(1,0,1)

$$

をとることができる。

点 $A(2,1,0)$ を通るので，平面 $ABC$ の方程式は

$$ (x-2)+z=0

$$

すなわち

$$ x+z=2

$$

である。

点 $D(1,3,7)$ から平面 $x+z=2$ への垂線の足を $H$ とする。法線方向は $(1,0,1)$ であるから，$H$ は

$$ H=D-t(1,0,1)

$$

と表せる。すなわち

$$ H=(1-t,3,7-t)

$$

である。

$H$ は平面 $x+z=2$ 上にあるから，

$$ (1-t)+(7-t)=2

$$

より

$$ 8-2t=2

$$

となる。したがって

$$ t=3

$$

である。

よって

$$ H=(-2,3,4)

$$

である。

点 $E$ は点 $D$ を平面 $ABC$ に関して対称移動した点なので，$H$ は線分 $DE$ の中点である。したがって

$$ H=\frac{D+E}{2}

$$

より，

$$ E=2H-D

$$

である。これを計算すると

$$ E=2(-2,3,4)-(1,3,7)=(-4,6,8)-(1,3,7)=(-5,3,1)

$$

となる。

解説

平面に関する対称点を求める問題では，「対称面上に中点がある」「結ぶ直線は平面に垂直である」という2条件を使うのが基本である。

この問題では，平面 $ABC$ が

$$ x+z=2

$$

という簡単な形になるため，法線方向 $(1,0,1)$ に沿って点 $D$ から平面へ下ろした垂線の足を求めればよい。

答え

$$ E(-5,3,1)

$$