基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題20 解説
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解説
方針・初手
点 $P$ が直線 $BC$ 上にあるので、$P$ の位置は $\overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}$ とおける。したがって、まず $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ の長さと内積を求め、その後は
$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}
$$
を用いて条件を式に直す。
解法1
まず、各ベクトルは
$$ \overrightarrow{AB}=(1,1,0),\qquad \overrightarrow{BC}=(-2,-2,1)
$$
である。
よって
$$ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}
$$
また、
$$ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+1^2}=3
$$
さらに、内積は
$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =1\cdot(-2)+1\cdot(-2)+0\cdot1 =-4
$$
である。
次に、
$$ \overrightarrow{AC}=(-1,-1,1)
$$
であり、
$$ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =(-1,-1,1)-(1,1,0) =(-2,-2,1) =\overrightarrow{BC}
$$
である。したがって
$$ (1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+t(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) =\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}
$$
となるので、$[④]=t$ である。
次に、$\angle BAP=90^\circ$ となる条件は
$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=0
$$
である。ここで
$$ \overrightarrow{AP} =\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}
$$
だから、
$$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} =\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}) =|\overrightarrow{AB}|^2+t(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC})
$$
である。すでに求めた値を代入すると
$$ 2-4t=0
$$
より
$$ t=\frac{1}{2}
$$
である。
次に、$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BP}|$ となる条件を考える。
点 $P$ は
$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}
$$
で表されるから、
$$ \overrightarrow{BP}=t\overrightarrow{BC}
$$
である。よって、両辺を2乗して
$$ |\overrightarrow{AP}|^2=|\overrightarrow{BP}|^2
$$
を考える。
まず
$$ |\overrightarrow{AP}|^2 =|\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}|^2 =|\overrightarrow{AB}|^2+2t(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC})+t^2|\overrightarrow{BC}|^2
$$
であるから、
$$ |\overrightarrow{AP}|^2 =2+2t(-4)+9t^2 =9t^2-8t+2
$$
である。また、
$$ |\overrightarrow{BP}|^2 =|t\overrightarrow{BC}|^2 =9t^2
$$
である。したがって
$$ 9t^2-8t+2=9t^2
$$
より
$$ -8t+2=0
$$
となるので、
$$ t=\frac{1}{4}
$$
である。
最後に、$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AP}|$ かつ $P\ne B$ となる条件を考える。
両辺を2乗すると
$$ |\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{AP}|^2
$$
である。すなわち
$$ 2=9t^2-8t+2
$$
であるから、
$$ 9t^2-8t=0
$$
となる。よって
$$ t(9t-8)=0
$$
より
$$ t=0,\ \frac{8}{9}
$$
である。
ただし、$t=0$ のときは $\overrightarrow{BP}=\vec{0}$ となり $P=B$ である。条件 $P\ne B$ より、これは除く。
したがって
$$ t=\frac{8}{9}
$$
である。
解説
この問題では、直線 $BC$ 上の点 $P$ を
$$ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{BC}
$$
と表すことが中心である。
あとは、直角条件は内積が $0$、長さが等しい条件は両辺を2乗して処理すればよい。特に最後の条件では $t=0$ も方程式の解として出るが、このとき $P=B$ であるため、問題文の $P\ne B$ により除外する必要がある。
答え
$$ [①]=\sqrt{2},\qquad [②]=3,\qquad [③]=-4
$$
$$ [④]=t
$$
$$ [⑤]=\frac{1}{2}
$$
$$ [⑥]=\frac{1}{4}
$$
$$ [⑦]=\frac{8}{9}
$$