基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題21 解説
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解説
方針・初手
角 $\angle AOC,\angle BOC$ は、それぞれベクトル $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ および $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ のなす角である。まず内積の公式から $p,q$ と $|\overrightarrow{OC}|$ の関係を作る。
その後、三角形の面積は外積で求め、点と平面の距離として $OH$ を求める。
解法1
$\overrightarrow{OA}=(3,0,0),\overrightarrow{OB}=(0,2,0),\overrightarrow{OC}=(p,q,2)$ とする。また
$$ |\overrightarrow{OC}|=r
$$
とおく。
まず $\angle AOC=45^\circ$ より、
$$ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OC}|\cos45^\circ
$$
である。左辺は $3p$、右辺は
$$ 3r\cdot \frac{\sqrt2}{2}
$$
だから、
$$ 3p=\frac{3r}{\sqrt2}
$$
より
$$ p=\frac{r}{\sqrt2}
$$
を得る。
また、$\angle BOC=60^\circ$ より、
$$ \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|\cos60^\circ
$$
である。左辺は $2q$、右辺は
$$ 2r\cdot \frac{1}{2}=r
$$
だから、
$$ 2q=r
$$
より
$$ q=\frac{r}{2}
$$
を得る。
一方で、
$$ r^2=p^2+q^2+2^2
$$
であるから、
$$ r^2=\left(\frac{r}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2+4
$$
となる。整理すると、
$$ r^2=\frac{r^2}{2}+\frac{r^2}{4}+4
$$
すなわち
$$ \frac{r^2}{4}=4
$$
である。よって $r>0$ より
$$ r=4
$$
である。したがって、
$$ p=2\sqrt2,\qquad q=2
$$
となる。
次に三角形 $ABC$ の面積を求める。いま
$$ A=(3,0,0),\quad B=(0,2,0),\quad C=(2\sqrt2,2,2)
$$
であるから、
$$ \overrightarrow{AB}=(-3,2,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(2\sqrt2-3,2,2)
$$
である。
外積を計算すると、
$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} &= (-3,2,0)\times(2\sqrt2-3,2,2)\\ &=(4,6,-4\sqrt2) \end{aligned}
$$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| &= \sqrt{4^2+6^2+(-4\sqrt2)^2}\\ &= \sqrt{16+36+32}\\ &= 2\sqrt{21} \end{aligned} $$
となる。よって三角形 $ABC$ の面積は
$$ \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{21}=\sqrt{21}
$$
である。
最後に、原点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の長さ $OH$ を求める。
平面 $ABC$ の法線ベクトルとして
$$ (4,6,-4\sqrt2)
$$
を用いることができる。これを $2$ で割って、
$$ (2,3,-2\sqrt2)
$$
を法線ベクトルとしてよい。
平面 $ABC$ は点 $A(3,0,0)$ を通るので、
$$ 2(x-3)+3(y-0)-2\sqrt2(z-0)=0
$$
すなわち
$$ 2x+3y-2\sqrt2z-6=0
$$
である。
点 $O(0,0,0)$ と平面
$$ 2x+3y-2\sqrt2z-6=0
$$
との距離は、
$$ \frac{|2\cdot0+3\cdot0-2\sqrt2\cdot0-6|} \begin{aligned} {\sqrt{2^2+3^2+(-2\sqrt2)^2}} &= \frac{6}{\sqrt{4+9+8}}\\ &= \frac{6}{\sqrt{21}} \end{aligned} $$
である。よって、
$$ OH=\frac{6}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}
$$
となる。
解説
この問題では、角の条件を座標に直すために内積を使うのが最初の要点である。$|\overrightarrow{OC}|$ を直接展開する前に $r$ とおくと、$p,q$ が $r$ で表され、計算が単純になる。
三角形の面積は、空間座標では外積を用いるのが標準的である。また、点と平面の距離を求めるには、先に平面の方程式を作る必要がある。外積で得た法線ベクトルをそのまま平面の方程式に使えるため、面積計算と距離計算が自然につながる。
答え
**(1)**
$$ p=2\sqrt2,\qquad q=2
$$
**(2)**
$$ \triangle ABC=\sqrt{21}
$$
**(3)**
$$ OH=\frac{2\sqrt{21}}{7}
$$