基礎問題集
数学C 空間ベクトル「空間ベクトル」の問題24 解説
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解説
方針・初手
$A',B',C'$ はそれぞれ $OA,OB,OC$ を $2:1$ に内分するので、
$$ \overrightarrow{OA'}=\frac{2}{3}\vec a,\quad \overrightarrow{OB'}=\frac{2}{3}\vec b,\quad \overrightarrow{OC'}=\frac{2}{3}\vec c
$$
である。まず $D$ は平面 $OBC$ 上の点なので、$\vec b,\vec c$ の一次結合で表す。次に $E$ は直線 $AD$ 上にあることと、平面 $A'BC$ 上にあることを同時に用いる。
解法1
まず、$D$ は直線 $BC'$ 上にあるから、実数 $s$ を用いて
$$ \overrightarrow{OD} =(1-s)\vec b+s\cdot \frac{2}{3}\vec c =(1-s)\vec b+\frac{2s}{3}\vec c
$$
と表せる。
また、$D$ は直線 $B'C$ 上にもあるから、実数 $t$ を用いて
$$ \overrightarrow{OD} =(1-t)\frac{2}{3}\vec b+t\vec c =\frac{2(1-t)}{3}\vec b+t\vec c
$$
と表せる。
四面体 $OABC$ において $\vec b,\vec c$ は一次独立であるから、係数を比較して
$$ 1-s=\frac{2(1-t)}{3},\quad \frac{2s}{3}=t
$$
を得る。第2式より $t=\dfrac{2s}{3}$ である。これを第1式に代入すると、
$$ 1-s=\frac{2}{3}\left(1-\frac{2s}{3}\right)
$$
より、
$$ 9-9s=6-4s
$$
したがって、
$$ s=\frac{3}{5}
$$
である。よって
$$ \overrightarrow{OD} =\left(1-\frac{3}{5}\right)\vec b+\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}\vec c =\frac{2}{5}\vec b+\frac{2}{5}\vec c
$$
となる。したがって、
$$ \overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}(\vec b+\vec c)
$$
である。
次に、$E$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$ \overrightarrow{OE} =(1-u)\vec a+u\overrightarrow{OD}
$$
と表せる。いま
$$ \overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}(\vec b+\vec c)
$$
であるから、
$$ \overrightarrow{OE} =(1-u)\vec a+\frac{2u}{5}\vec b+\frac{2u}{5}\vec c
$$
である。
一方、$E$ は平面 $A'BC$ 上にある。したがって、実数 $\lambda,\mu,\nu$ を用いて
$$ \overrightarrow{OE} =\lambda\overrightarrow{OA'}+\mu\vec b+\nu\vec c,\quad \lambda+\mu+\nu=1
$$
と表せる。ここで $\overrightarrow{OA'}=\dfrac{2}{3}\vec a$ だから、
$$ \overrightarrow{OE} =\frac{2\lambda}{3}\vec a+\mu\vec b+\nu\vec c
$$
である。
これを
$$ \overrightarrow{OE} =(1-u)\vec a+\frac{2u}{5}\vec b+\frac{2u}{5}\vec c
$$
と比較すると、
$$ \frac{2\lambda}{3}=1-u,\quad \mu=\frac{2u}{5},\quad \nu=\frac{2u}{5}
$$
である。よって
$$ \lambda=\frac{3}{2}(1-u)
$$
となる。さらに $\lambda+\mu+\nu=1$ より、
$$ \frac{3}{2}(1-u)+\frac{2u}{5}+\frac{2u}{5}=1
$$
すなわち、
$$ \frac{3}{2}-\frac{3u}{2}+\frac{4u}{5}=1
$$
である。整理すると、
$$ \frac{1}{2}-\frac{7u}{10}=0
$$
より、
$$ u=\frac{5}{7}
$$
を得る。
したがって、
$$ \overrightarrow{OE} =\left(1-\frac{5}{7}\right)\vec a +\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{7}\vec b +\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{7}\vec c
$$
であるから、
$$ \overrightarrow{OE} =\frac{2}{7}\vec a+\frac{2}{7}\vec b+\frac{2}{7}\vec c
$$
となる。
よって、
$$ \overrightarrow{OE} =\frac{2}{7}(\vec a+\vec b+\vec c)
$$
である。
解説
この問題では、交点を直接図形的に追うよりも、各直線上の点をパラメータで表して係数比較するのが基本である。
特に $D$ は平面 $OBC$ 上の点なので、$\vec b,\vec c$ の係数だけを比較すればよい。次に $E$ は直線 $AD$ 上にあるため、$A$ から $D$ へ進む比を $u$ とおくと自然に表せる。
平面 $A'BC$ 上にある条件は、$A',B,C$ の係数和が $1$ になるというアフィン結合の形で処理する。ここで単なる一次結合ではなく、係数和が $1$ であることを使う点が重要である。
答え
**(1)**
$$ \overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}(\vec b+\vec c)
$$
**(2)**
$$ \overrightarrow{OE}=\frac{2}{7}(\vec a+\vec b+\vec c)
$$