解説

方針・初手

$\vec a,\vec b,\vec c$ は互いに垂直で、長さがそれぞれ $1,2,3$ である。したがって

$$ \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec c=\vec c\cdot \vec a=0,\quad |\vec a|^2=1,\quad |\vec b|^2=4,\quad |\vec c|^2=9

$$

を使えばよい。まず内分点 $K$ の位置ベクトル $\vec k$ を $t$ で表す。

解法1

$K$ は線分 $BC$ を $t:(1-t)$ に内分する点であるから、$BK:KC=t:(1-t)$ である。よって

$$ \vec k=\overrightarrow{OK}=(1-t)\vec b+t\vec c

$$

である。

したがって、$\vec a$ は $\vec b,\vec c$ のどちらにも垂直なので、

$$ \vec a\cdot \vec k =\vec a\cdot{(1-t)\vec b+t\vec c} =(1-t)\vec a\cdot\vec b+t\vec a\cdot\vec c =0

$$

である。

また、$\vec b$ と $\vec c$ は垂直であるから、

$$ \begin{aligned} |\vec k|^2 &=|(1-t)\vec b+t\vec c|^2 \\ &=(1-t)^2|\vec b|^2+t^2|\vec c|^2 \\ &=4(1-t)^2+9t^2. \end{aligned}

$$

よって

$$ |\vec k|=\sqrt{4(1-t)^2+9t^2}

$$

である。

次に、$\vec a\cdot\vec k=0$ より、三角形 $OAK$ は $O$ を直角とする直角三角形である。直角三角形で、直角の頂点から斜辺に下ろした垂線の足を $H$ とすると、斜辺の分割比は

$$ AH:HK=OA^2:OK^2

$$

である。したがって

$$ AH:HK=|\vec a|^2:|\vec k|^2

$$

となる。

$H$ は $AK$ 上にあり、

$$ AH:HK=|\vec a|^2:|\vec k|^2

$$

であるから、内分点の公式より

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{|\vec k|^2\vec a+|\vec a|^2\vec k}{|\vec a|^2+|\vec k|^2}

$$

である。ここで $|\vec a|^2=1$、また

$$ |\vec k|^2=4(1-t)^2+9t^2=13t^2-8t+4

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OH} &= \frac{(13t^2-8t+4)\vec a+{(1-t)\vec b+t\vec c}}{1+(13t^2-8t+4)} \\ &= \frac{(13t^2-8t+4)\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c}{13t^2-8t+5}. \end{aligned}

$$

よって、空欄に当てはまる式は

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{(13t^2-8t+4)\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c}{13t^2-8t+5}

$$

である。

最後に、$\overrightarrow{OH}$ が平面 $ABC$ に垂直である条件を考える。平面 $ABC$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ によって張られるので、

$$ \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AC}

$$

であればよい。

ここで

$$ \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a

$$

である。

分母 $13t^2-8t+5$ は正であるから、分子だけを考えればよい。$D=13t^2-8t+4$ とおくと、

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{D\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c}{D+1}

$$

である。

まず $\overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AB}$ より、

$$ {D\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c}\cdot(\vec b-\vec a)=0

$$

である。互いに垂直であることを使うと、

$$ 4(1-t)-D=0

$$

すなわち

$$ D=4(1-t)

$$

を得る。

同様に、$\overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AC}$ より、

$$ {D\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c}\cdot(\vec c-\vec a)=0

$$

であるから、

$$ 9t-D=0

$$

すなわち

$$ D=9t

$$

を得る。

したがって

$$ 4(1-t)=9t

$$

より、

$$ 4=13t

$$

となる。よって

$$ t=\frac{4}{13}

$$

である。

解説

この問題では、$\vec a,\vec b,\vec c$ が互いに垂直であるため、内積計算が大幅に単純化される。特に、$K$ の位置ベクトルを

$$ \vec k=(1-t)\vec b+t\vec c

$$

と表せば、$\vec a\cdot\vec k=0$ がすぐに分かり、三角形 $OAK$ が直角三角形であることが使える。

また、直角三角形において、直角の頂点から斜辺へ下ろした垂線の足が斜辺を分ける比

$$ AH:HK=OA^2:OK^2

$$

を使うと、$\overrightarrow{OH}$ を短く表せる。

最後の条件「$\overrightarrow{OH}$ が平面 $ABC$ に垂直」は、平面上の独立な2方向 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直であることに言い換えるのが基本である。

答え

**(1)**

$$ \vec a\cdot\vec k=0

$$

$$ |\vec k|=\sqrt{4(1-t)^2+9t^2}

$$

**(2)**

$$ AH:HK=|\vec a|^2:|\vec k|^2

$$

**(3)**

$$ \overrightarrow{OH} = \frac{(13t^2-8t+4)\vec a+(1-t)\vec b+t\vec c}{13t^2-8t+5}

$$

**(4)**

$$ t=\frac{4}{13}

$$